Фильтр Бесселя

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышева
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра
Фильтр Габора

Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболее распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Фильтры Бесселя чаще всего используют для аудио-кроссоверов. Их групповая задержка практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.

Передаточная функция

График амплитудно-частотной характеристики и групповой задержки для низкочастотного фильтра Бесселя четвёртого порядка. Спад амплитудно-частотной характеристики значительно менее крутой, чем у других линейных фильтров, однако групповая задержка практически не меняется по частотам полосы пропускания.

Передаточная функция фильтра Бесселя низких частот определяется следующим выражением:

$H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,$

где $\theta_n(s)\,\!$ — обратный многочлен Бесселя, из-за чего фильтр и получил своё название; $\omega_0\,\!$ — частота среза.

Пример

Дана передаточная функция низкочастотного фильтра Бесселя третьего порядка

$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}\,$

с амплитудно-частотной характеристикой

$G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}$

и фазо-частотной характеристикой

$\phi(\omega)=-\mathrm{arg}(H(j\omega))= -\mathrm{arctg}\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right)\,$

Групповая задержка такого фильтра:

$D(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}$

Разложение групповой задержки в ряд Тейлора по степеням частоты:

$D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots$

Из последнего выражения видно, что коэффициенты перед степенями $\omega^2\,\!$ и $\omega^4\,\!$ равны нулю, а перед более высокими степенями весьма малы, вследствие чего групповая задежка близка к единице на низких частотах.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:

Как следует из графика, фильтр Бесселя имеет наименьшую крутизну характеристики, в то же время он не имеет пульсаций АЧХ ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Решётчатый фильтр
• КИХ-фильтр
• БИХ-фильтр

Ссылки

• Фильтры нижних частот
• Фильтр Бесселя в обработке аудио
• Фильтр Бесселя в теории управления(недоступная ссылка)
• Классификация фильтров