Фильтр Калмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 17 апреля 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 2 правки.

Перейти к: навигация, поиск

Фи́льтр Ка́лмана — рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана.

Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом фильтр Калмана, как и множество других рекурсивных фильтров, реализован во временном представлении, а не в частотном. Далее, запись вида $\hat{\textbf{x}}_{n|m}$ соответствует оценке вектора состояния $\textbf{x}$ в момент времени (итерации) n, по данным на момент времени m.

Состояние фильтра находится в двух переменных:

$\hat{\textbf{x}}_{k|k}$ — оценка вектора состояния динамической системы в момент времени k;
$\textbf{P}_{k|k}$ — ковариационная матрица ошибок (мера точности оценивания вектора состояния).

Работу каждого шага фильтра Калмана можно разделить на два этапа: прогноз и корректировка. Этап прогноза вычисляет вектор состояния, по его же значению на предыдущем шаге работы фильтра. На этапе корректировки в алгоритм поступают данные текущих измерений, которые используются для уточнения прогнозного значения вектора состояния, и вычисления собственно оценки вектора состояния динамической системы. Рассмотрим работу классического оптимального фильтра Калмана:

[править] Этап прогноза

Вычисление прогнозного значения вектора состояния по априорно известной модели:	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1\|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k-1}$
Вычисление прогнозного значения ковариационной матрицы:	$\textbf{P}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1\|k-1} \textbf{F}_{k}^{T} + \textbf{Q}_{k-1}$

[править] Этап корректировки

Вычисление математической невязки прогнозного значения вектора состояния относительно измерений:	$\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{z}_{k} - \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1}$
Ковариационная матрица измерений:	$\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_{k}^{T}+\textbf{R}_{k}$
Оптимальный по Калману коэффициент усиления:	$\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k\|k-1}\textbf{H}_{k}^{T}\textbf{S}_{k}^{-1}$
Вычисление оценки вектора состояния через корректировку прогнозного вектора состояния:	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k} = \hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y}}_{k}$
Обновление ковариационной матрицы ошибок:	$\textbf{P}_{k\|k} = (I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k\|k-1}$