Фильтр (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Определение в рамках теории решёток[править | править исходный текст]

Подмножество F решётки L называется фильтром, если

  • для всех a,b \in F, a \land b \in F
  • для всех a \in F и b таких, что a \leq b, b \in F

Фильтр называется собственным, если F \neq L.

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр F называется простым, если в нём для всех a,b \in F из того, что a \lor b \in F, следует, что либо a \in F, либо b \in F.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент x, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом x.

Если F фильтр, то L \backslash F является идеалом.

Фильтры на множествах[править | править исходный текст]

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества X можно определить решётку его подмножеств (\mathcal P(X),\subseteq). Тогда фильтр \mathfrak F на X определяется как подмножество \mathcal P(X), удовлетворяющее следующим условиям:

  • \mathfrak F \neq \varnothing
  • \varnothing \notin\mathfrak F
  • пересечение любых двух элементов \mathfrak F лежит в \mathfrak F
  • надмножество любого элемента \mathfrak F лежит в \mathfrak F

Фильтр вида \mathfrak F_Z=\{Y \in\mathcal P(X) \mid Z \subseteq Y\} называется фильтром, порожденным множеством Z. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.


База фильтра[править | править исходный текст]

Пусть \mathfrak F — фильтр на множестве X. Семейство подмножеств \mathfrak B\subset\mathfrak F называется базой (базисом) фильтра \mathfrak F, если любой элемент фильтра \mathfrak F содержит некоторый элемент базы \mathfrak B, т.е. для любого Y\in\mathfrak F существует B\in\mathfrak B такое, что B\subset Y. При этом фильтр \mathfrak F совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из \mathfrak B. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база \mathfrak B порождает фильтр \mathfrak F

Для того, чтобы семейство \mathfrak B=\{B\} подмножеств множества X являлось базой некоторого фильтра на X необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

  • \mathfrak B\neq\varnothing;
  • \varnothing\not\in\mathfrak B;
  • для любых A,B\in\mathfrak B существует C\in\mathfrak B такое, что A\cap B\supset C.

Две базы \mathfrak B и \mathfrak B' называются эквивалентными, если любой элемент B\in\mathfrak B содержит в себе некоторый элемент B'\in\mathfrak B', и наоборот, любой элемент B'\in\mathfrak B' содержит в себе некоторый элемент B\in\mathfrak B.

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе \mathfrak B существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр \mathfrak F. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров[править | править исходный текст]

Пусть на множестве X заданы два фильтра \mathfrak F и \mathfrak F'. Говорят, что фильтр \mathfrak F' мажорирует фильтр \mathfrak F (\mathfrak F' сильнее \mathfrak F, \mathfrak F' тоньше \mathfrak F), если \mathfrak F'\supset\mathfrak F. В этом случае также говорят, что фильтр \mathfrak F мажорируется фильтром \mathfrak F' (\mathfrak F слабее \mathfrak F', \mathfrak F грубее \mathfrak F').

Говорят, что база \mathfrak B' сильнее базы \mathfrak B, и записывают \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B, если любой элемент B\in\mathfrak B содержит в себе некоторый элемент B'\in\mathfrak B'. База \mathfrak B' сильнее базы \mathfrak B тогда и только тогда, когда фильтр \mathfrak F', порожденный базой \mathfrak B', сильнее фильтра \mathfrak F, порожденного базой \mathfrak B.

Базы \mathfrak B и \mathfrak B' эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B и \mathfrak B\geqslant \mathfrak B'
.

Фильтры в топологических пространствах[править | править исходный текст]

Пусть (X,\mathcal T)топологическое пространство и \mathfrak F — фильтр на множестве X. Точка a\in X называется пределом фильтра \mathfrak F, если любая окрестность V(a) точки a принадлежит фильтру \mathfrak F. Обозначение: \lim\mathfrak F=a. Для фильтра \mathfrak F, порожденного базой \mathfrak B, равенство \lim\mathfrak F=a выполняется тогда и только тогда, когда любая окрестность V(a) целиком содержит некоторое множество из \mathfrak B.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела.

Точка a\in X называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра \mathfrak F, если a принадлежит замыканию любого множества из \mathfrak F, т.е. a\in\overline Y для всех Y\in\mathfrak F. Равносильно, для любой окрестности V(a) точки a и для любого Y\in\mathfrak F выполнено V(a)\cap Y\neq\varnothing. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
  • Если X — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
  • Если X — бесконечное множество мощности \mathfrak m, то множество дополнений множеств мощности <\mathfrak m тоже является фильтром.

См. также[править | править исходный текст]