Флексагон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гексагексафлексагон
Гексагексафлексагон
Диаграмма пути Таккермана

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности (плоскости), которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Флексагоны обычно имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Дополнительная приставка может означать общее число поверхностей флексагона; например, додекагексафлексагон[1] — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

История[править | править исходный текст]

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Стоун обрезал края бумаги и стал складывать из них различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном[2][3].

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки[3].

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново[3]. Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны[4].

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам[5].

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения[6][7].

Примеры[править | править исходный текст]

Тригексафлексагон[править | править исходный текст]

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Тригексафлексагон — гексафлексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона). Он представляет из себя сплющенную ленту Мёбиуса[2][4].

Изготовление тригексафлексагона[править | править исходный текст]

Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом[2][8]:

  • Вырезать из бумаги ленту шириной в 4-7 см и разметить с двух сторон согласно рисунку:
Развертка тригексафлексагона (с двух сторон)
  • Перегнуть ленту по каждой из линий в обе стороны и снова разогнуть.
  • Перегнуть ленту по линиям a-b и c-d так, чтобы секторы с «двойками» совместились друг с другом:
Изготовление тригексафлексагона
  • Перегнуть ленту по линии e-f так, чтобы совместились последние две «двойки».
  • Намазать клеем секторы, помеченные звёздочкой, и склеить их:
Тригексафлексагон

Метод складывания[править | править исходный текст]

Схематическое изображение гексафлексагона с обозначениями углов и центра

Складывание тригексафлексагона осуществляется следующим образом[2][8][9].

Модель берётся двумя пальцами правой руки за угол D. Левая часть модели сгибается двумя пальцами левой руки по линии AO от себя так, чтобы с обратной стороны треугольники ABO и AFO совместились. Образуется «пирамидка с хвостом-клапаном».

Затем угол D совмещается сзади с углами B и F. В этот момент точки B, F, D находятся прямо за точкой O.

После этого конструкция раскрывается сначала по линии COE (при этом точка O уходит вправо), а затем по линии AO.

Этот метод складывания носит название pinch flex[10].

Для поочерёдного просмотра всех трёх плоскостей тригексафлексагона достаточно повторять описанную последовательность действий, после каждого раза поворачивая модель на 60°.

Гексагексафлексагон[править | править исходный текст]

Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями[1][9][11].

Путь Таккермана[править | править исходный текст]

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое[9][11].

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана[9][11].

Виды флексагонов[править | править исходный текст]

Наименования флексагонов[править | править исходный текст]

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т.е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания[4][12].

Общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов[4]. В книге Flexagons Inside Out флексагоны обозначаются по форме секторов (квадратный, пятиугольный и т.п.)[13][14]

В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно[12]. Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра-, пента-, гепта-, октафлексагоны[14].

В журналах «Наука и жизнь» использовалась в основном система приставок IUPAC[15][16][17][18].

Гексафлексагоны[править | править исходный текст]

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью плоскостями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину[1][2][4][8][11].

Начиная с гексагексафлексагона, количество разных гексафлексагонов с одним и тем же количеством поверхностей становится больше 1: существует 3 гексагексафлексагона, 4 гептагексафлексагона, 12 октафлексагонов, 27 эннагексафлексагонов и 82 декагексафлексагона[4][19].

Тетрафлексагоны[править | править исходный текст]

Silk-film.png Внешние видеофайлы
Флексагоны
Silk-film.png 7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея[15]. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок[4].

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4[20].

Кольцевые флексагоны[править | править исходный текст]

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая[21]; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса)[17].

Методы складывания («флексы»)[править | править исходный текст]

Гексафлексагоны[править | править исходный текст]

Silk-film.png Внешние видеофайлы
Флексагоны
(Методы складывания)
Silk-film.png 5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрация «флексов» на примере пентагексафлексагона

Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (обхода Таккермана), носит название pinch flex[10]. Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

  • pinch flex[10] (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
  • v-flex[22][23] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
  • tuck flex[24], «лодочка-гексаэдр»[9] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.[25]

Аномалии[править | править исходный текст]

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью, а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном[9][11][26]. Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне[9], додекагексафлексагоне[26]. Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон[21]. Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex[9].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 Наука и жизнь, 1970, №3
  2. 1 2 3 4 5 Наука и жизнь, 1970, №1
  3. 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon
  4. 1 2 3 4 5 6 7 Мартин Гарднер, Математические головоломки и развлечения
  5. Martin Gardner's Collections of "Mathematical Games" Columns. Muppetlabs
  6. Changeable amusement devices and the like. Freepatentsonline.com (21 апреля 1959). Архивировано из первоисточника 13 августа 2013.
  7. Patents
  8. 1 2 3 Mathematische Basteleien Flexagons
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 Наука и жизнь, 1977, №2
  10. 1 2 3 Scott Sherman The Pinch Flex
  11. 1 2 3 4 5 Наука и жизнь, 1970, №2
  12. 1 2 Scott Sherman Flexagon Naming and Terminology
  13. Les Pook, Flexagons Inside Out
  14. 1 2 Scott Sherman Triangle Flexagon Bestiary
  15. 1 2 Наука и жизнь, 1975, №9
  16. Наука и жизнь, 1992, №4
  17. 1 2 Наука и жизнь, 1993, №11
  18. Наука и жизнь, 1993, №12
  19. последовательность A000207 в OEIS The number of hexaflexagons of order n+2
  20. Наука и жизнь, 1972, №3
  21. 1 2 Наука и жизнь, 1977, №8
  22. Flexagon Portal v-flex video
  23. Scott Sherman The V flex
  24. Scott Sherman The Tuck Flex
  25. Scott Sherman Triangle Flexagon Flexes
  26. 1 2 Квант, 1992, №10

Литература[править | править исходный текст]

Книги[править | править исходный текст]

Статьи[править | править исходный текст]

  • А. А. Панов Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. — № 7. — С. 10—14.
  • И. Кан Аномальные флексагоны // Квант. — 1992. — № 10. — С. 57—59.
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 1. — С. 124—125. Тригексафлексагон
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 2. — С. 68—69. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 3. — С. 154—155. Другие гексафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 8. — С. 149. Переписка с читателями
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 3. — С. 142—143. Тетрафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 4. — С. 107. Флексотрубка Стоуна
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 154—155. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 9. — С. 121—123. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
  • И. Константинов Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. — № 2. — С. 92—96, V. Туннельный перевод
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. — № 8. — С. 98—99. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
  • И. Кан Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. — № 4. — С. 126—127. Гемитетрафлексагоны
  • И. Кан Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 11. — С. 150—152.
  • И. Кан Треугольные флексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 12. — С. 42—43.

Ссылки[править | править исходный текст]