Формализм GENERIC

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формализм GENERIC (подход GENERIC, формулировка GENERIC) — гамильтонова формулировака неравновесной термодинамики, предложенная в окончательном своем виде Грмелой (Grmela) и Оттингером (Öttinger) в 1997. [1] Название метода является акронимом от англ. General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling — общее уравнение для неравновесной обратимой и необратимой связи.

Суть подхода[править | править вики-текст]

В основе данного подхода лежит предположение, что уравнения эволюции системы могут быть представлены следующим выражением (собственно GENERIC):


\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\mathbf{L} \cdot\frac{\delta E}{\delta \boldsymbol{x}} + \mathbf{M} \cdot\frac{\delta S}{\delta \boldsymbol{x}},

здесь:

  • \boldsymbol{x} — набор независимы переменных, описывающий систему. Вектор \boldsymbol{x} может содержать величины, непрерывно зависящие от индекса (например, гидродинамические поля).
  • E и S — полные энергия и энтропия системы, выраженные через \boldsymbol{x}. Являются простым функциями или выражаются функционалами в случае, если какие-то переменные \boldsymbol{x} являются полями.
  • \mathbf{L} и \mathbf{M} — линейные функциональные операторы, выражающие, соответственно, обратимую и необратимую части эволюции.
  • \frac{\delta}{\delta \boldsymbol{x}} обозначает функциональную производную. В отсутствие нелокальных эффектов сводится к обычной частной производной.

Вышеприведенное уравнение дополняется следующими условиями вырожденности:


\mathbf{L} \cdot\frac{\delta S}{\delta \boldsymbol{x}} = 0, \;\;\;\; \mathbf{M} \cdot\frac{\delta E}{\delta \boldsymbol{x}} = 0,

Первое из них соответствует тому, что функциональная форма энтропии не может внести свой вклад в обратимую составляющую эволюции. Второе условие выражает тот факт, что полная энергия не зависит от необратимой составляющей динамики.

Остановимся на свойствах матриц \mathbf{L} и \mathbf{M}. Этим матрицам сопоставляются следующие скобки:


\left\{ A, B \right\} = \left \langle \frac{\delta A}{\delta \boldsymbol{x}}, \mathbf{L} \cdot \frac{\delta B}{\delta \boldsymbol{x}} \right \rangle,

\left[ A, B \right] = \left \langle \frac{\delta A}{\delta \boldsymbol{x}}, \mathbf{M} \cdot \frac{\delta B}{\delta \boldsymbol{x}} \right \rangle,

первые из которых представляет собой скобки Пуассона из классической механики, а скобки [\,{,}\,] предназначены для описания диссипативных процессов. \left \langle \,{,}\,\right \rangle обозначает скалярное произведение. С помощью этих скобок эволюция произволной функции A(\boldsymbol{x}) запишется как:


\frac{dA}{dt}=\left\{ A, E \right\} + \left[ A, S \right].

Также из свойств вышеозначенных скобок следует, что оператор \mathbf{L} антисимметричен (\mathbf{L} (\boldsymbol{x})=-\mathbf{L}^T(\boldsymbol{x})). \mathbf{M} — симметричен (\mathbf{M} (\boldsymbol{x})=\mathbf{M}^T(\boldsymbol{x})), при условии, что все переменные \boldsymbol{x} имеют одинаковую четность по отношению к обращению времени. \mathbf{M} является положительно-определенным оператором (\forall \, \boldsymbol{y}\!: \boldsymbol{y} \cdot\mathbf{M}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{y} \geqslant 0 ).

Перечисленные свойства и условия выродженности обеспечивают выполнение первого и второго начала термодинамики.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Grmela & Öttinger, Dynamics and thermodynamics of complex fluids.  I. Development of a general formalism Phys. Rev. E56 (1997) 6620, 6633, doi:10.1103/PhysRevE.56.6620

Литература[править | править вики-текст]

  • Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.