Формализм GENERIC

Формализм GENERIC (подход GENERIC, формулировка GENERIC) — гамильтонова формулировака неравновесной термодинамики, предложенная в окончательном своем виде Грмелой (Grmela) и Оттингером (Öttinger) в 1997. Название метода является акронимом от англ. General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling — общее уравнение для неравновесной обратимой и необратимой связи.

Суть подхода

В основе данного подхода лежит предположение, что уравнения эволюции системы могут быть представлены следующим выражением (собственно GENERIC):

$\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\mathbf{L} \cdot\frac{\delta E}{\delta \boldsymbol{x}} + \mathbf{M} \cdot\frac{\delta S}{\delta \boldsymbol{x}},$

здесь:

• $\boldsymbol{x}$ — набор независимы переменных, описывающий систему. Вектор $\boldsymbol{x}$ может содержать величины, непрерывно зависящие от индекса (например, гидродинамические поля).
• $E$ и $S$ — полные энергия и энтропия системы, выраженные через $\boldsymbol{x}$. Являются простым функциями или выражаются функционалами в случае, если какие-то переменные $\boldsymbol{x}$ являются полями.
• $\mathbf{L}$ и $\mathbf{M}$ — линейные функциональные операторы, выражающие, соответственно, обратимую и необратимую части эволюции.
• $\frac{\delta}{\delta \boldsymbol{x}}$ обозначает функциональную производную. В отсутствие нелокальных эффектов сводится к обычной частной производной.

Вышеприведенное уравнение дополняется следующими условиями вырожденности:

$\mathbf{L} \cdot\frac{\delta S}{\delta \boldsymbol{x}} = 0, \;\;\;\; \mathbf{M} \cdot\frac{\delta E}{\delta \boldsymbol{x}} = 0,$

Первое из них соответствует тому, что функциональная форма энтропии не может внести свой вклад в обратимую составляющую эволюции. Второе условие выражает тот факт, что полная энергия не зависит от необратимой составляющей динамики.

Остановимся на свойствах матриц $\mathbf{L}$ и $\mathbf{M}$. Этим матрицам сопоставляются следующие скобки:

$\left\{ A, B \right\} = \left \langle \frac{\delta A}{\delta \boldsymbol{x}}, \mathbf{L} \cdot \frac{\delta B}{\delta \boldsymbol{x}} \right \rangle,$

$\left[ A, B \right] = \left \langle \frac{\delta A}{\delta \boldsymbol{x}}, \mathbf{M} \cdot \frac{\delta B}{\delta \boldsymbol{x}} \right \rangle,$

первые из которых представляет собой скобки Пуассона из классической механики, а скобки $[\,{,}\,]$ предназначены для описания диссипативных процессов. $\left \langle \,{,}\,\right \rangle$ обозначает скалярное произведение. С помощью этих скобок эволюция произволной функции $A(\boldsymbol{x})$ запишется как:

$\frac{dA}{dt}=\left\{ A, E \right\} + \left[ A, S \right].$

Также из свойств вышеозначенных скобок следует, что оператор $\mathbf{L}$ антисимметричен ($\mathbf{L} (\boldsymbol{x})=-\mathbf{L}^T(\boldsymbol{x})$). $\mathbf{M}$ — симметричен ($\mathbf{M} (\boldsymbol{x})=\mathbf{M}^T(\boldsymbol{x})$), при условии, что все переменные $\boldsymbol{x}$ имеют одинаковую четность по отношению к обращению времени. $\mathbf{M}$ является положительно-определенным оператором ($\forall \, \boldsymbol{y}\!: \boldsymbol{y} \cdot\mathbf{M}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{y} \geqslant 0$).

Перечисленные свойства и условия выродженности обеспечивают выполнение первого и второго начала термодинамики.

Литература

• Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.