Формальный степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,

в котором коэффициенты {a_n} принадлежат некоторому кольцу {R}. В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и соответственно не имеет смысла сходимость таких рядов для числовых аргументов. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике.

Неформальное описание[править | править вики-текст]

Алгебраические операции[править | править вики-текст]

В R[[X]] можно следующим образом определить сложение, умножение, формальное дифференцирование и формальную суперпозицию. Пусть:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.

Тогда:

H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n
H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l
H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} (при этом необходимо, чтобы b_0=0)
H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}

Таким образом, формальные степенные ряды образуют кольцо.

Топология[править | править вики-текст]

Во множестве R[[X]] также можно задать топологию, что порождается следующей метрикой:

d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},\,\!
где k наименьшее натуральное число такое, что akbk;

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы[править | править вики-текст]

Формальный ряд:

\sum_{n=0}^\infty a_n X^n

в R[[X]] является обратимым в R[[X]] тогда и только тогда, когда a0 является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен a_0b_0, и достаточным, поскольку коэффициенты тогда определяются по формуле:

\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0}\\
b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \forall n \,n \ge 1.
\end{align}

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]