Формальный степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу .

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия[править | править код]

Алгебраические операции[править | править код]

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (), умножения (), формального дифференцирования () и композиции () следующим образом. Пусть

Тогда

(при этом необходимо, чтобы ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом сами образуют кольцо, обозначаемое .

Метрика и топология[править | править код]

В кольце также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

где  — наименьшее натуральное число такое, что .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы[править | править код]

Формальный ряд

в является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда является обратимым в . Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда определяются по формуле:

Если же , а также , то найдётся ряд (аналогично ), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что (аналогично ).

При этом будет выполнено (аналогично ). Оставшиеся коэффициенты ряда () можно выразить через коэффициенты пошагово дифференцируя равенство (аналогично ) и подставляя в него .

Свойства[править | править код]

  • Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы , для которых является максимальным идеалом в и есть порождение и .
  • Если является локальным кольцом, то локальным кольцом является также .
  •  — нётерово кольцо, то также является кольцом Нётер.
  • Если  — область целостности, то также будет областью целостности.
  • Метрическое пространство является полным.
  • Кольцо является компактным тогда, когда кольцо является конечным.
  • Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом[1].

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 54.