Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность $P_{k,n}$ того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: $P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $q = 1 - p$.

Доказательство

Пусть проводится $n$ независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие $A$ наступает с вероятностью $P \left(A\right)= p$ и, следовательно, не наступает с вероятностью $P \left(\bar{A}\right)= 1 - p = q$. Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности $p$ и $q$ остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате $n$ независимых испытаний, событие $A$ наступит ровно $k$ раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие $A$ наступает $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n(k) = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместны (событие $A$ либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: $p^k\cdot q^{n-k}$.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие $A$ наступит ровно $k$ раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны $p^k\cdot q^{n-k}$, количество "удачных" комбинаций равно $C_n(k)$, поэтому окончательно получаем:

$P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_n^k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в в силу полноты группы событий, будет справедливо:

$\sum_{k = 0}^n (P_{k,n})= 1$.

См. также

• Факториал
• Биномиальный коэффициент

Ссылки

• Повторение испытаний. Формула Бернулли