Формула Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка[править | править исходный текст]

Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_{k,n} того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}, где q = 1 - p.

Доказательство[править | править исходный текст]

Пусть проводится n независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие A наступает с вероятностью P \left(A\right)= p и, следовательно, не наступает с вероятностью P \left(\bar{A}\right)= 1 - p = q. Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности p и q остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате n независимых испытаний, событие A наступит ровно k раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из n по k:

C_n(k) = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместны (событие A либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: p^k\cdot q^{n-k}.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны p^k\cdot q^{n-k}, количество "удачных" комбинаций равно C_n(k), поэтому окончательно получаем:

P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_n^k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в в силу полноты группы событий, будет справедливо:

\sum_{k = 0}^n (P_{k,n})= 1.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]