Формула Бине — Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Произведение двух прямоугольных матриц \,A и \,B дает квадратную матрицу порядка \,m, если \,A имеет \,n столбцов и \,m строк, а матрица \,B имеет \,m столбцов и \,n строк. Миноры матриц \,A и \,B одинакового порядка, равного наименьшему из чисел \,n и \,m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы \,A) и строках (матрицы \,B) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы AB\, равен нулю, если \,n<m, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка \,m, если n\geqslant m (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы \,A и строк матрицы \,B с возрастающими номерами i_1<i_2<\ldots<i_m)[1].

  • В случае \,n<m формула |AB|=0\, очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы AB\, являются линейными комбинациями столбцов матрицы \,A, то в случае, когда число столбцов матрицы AB\, больше числа столбцов матрицы \,A, матрица AB\,, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
  • В случае \,n=m формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: \,|AB|=|A|\,|B|.
  • В случае \,n>m доказательство формулы Бине — Коши более сложно[1].

Пример[править | править исходный текст]

Пусть

A=\left(\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\
b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\
\end{matrix}\right),\quad
B =\left(\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
\vdots & \vdots \\
a_n & b_n \\
\end{matrix}\right).

Тогда

A\,B=\left(\begin{matrix}
a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\
a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2 \\
\end{matrix}\right),

и соответствующие миноры имеют вид

\left|\begin{matrix}
a_i & b_i \\
a_j & b_j \\
\end{matrix}\right|

при всех i<j, принимающих значения от 1 до n.

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,

из которого (в случае, когда все a_i и b_i являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского[1]:

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

Ссылки[править | править исходный текст]