Формула Гаусса — Бонне
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
Пусть M — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей 
. Обозначим через K гауссову кривизну M и через kg геодезическую кривизну . Тогда
где χ(M) — эйлерова характеристика M.
В частности, если у M нет границы, получаем
Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.
[править] Вариации и обобщения
Эта формула допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.
[править] См. также
[править] Ссылки
- С.Е. Степанов , Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116–121.
