Формула Гаусса — Бонне

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть \Omega — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей \partial \Omega. Обозначим через K гауссову кривизну \Omega и через k_g геодезическую кривизну \partial \Omega. Тогда

\int\limits_\Omega K\;d\sigma+\int\limits_{\partial \Omega}k_g\;ds=2\pi\chi(\Omega),

где \chi(\Omega) — эйлерова характеристика \Omega.

В частности, если у \Omega нет границы, получаем

\int\limits_\Omega K\;d\sigma=2\pi\chi(\Omega)

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История[править | править вики-текст]

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Гауссом[1]. Бонне[2] обобщил формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой. В современной формулировке формула впервые появляется у Бляшке, Вильгельм[3].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома P_i касательный вектор \boldsymbol{\tau} разворачивается на угол \phi_i в сторону области \Omega (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
     \int\limits_{\Omega} K d \sigma + \int_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega)
    • Для вывода этой формулы область \Omega нужно аппроксимировать областью, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
  2. Bonnet, 1848 'Memoire sur la Theorie Generate des Surfaces', J. Ecole Poly technique 19 (1848) pp. 1—146
  3. Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921