Формула Гаусса — Бонне

В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть $\Omega$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей $\partial \Omega$. Обозначим через $K$ гауссову кривизну $\Omega$ и через $k_g$ геодезическую кривизну $\partial \Omega$. Тогда

$\int\limits_\Omega K\;d\sigma+\int\limits_{\partial \Omega}k_g\;ds=2\pi\chi(\Omega),$

где $\chi(\Omega)$ — эйлерова характеристика $\Omega$.

В частности, если у $\Omega$ нет границы, получаем

$\int\limits_\Omega K\;d\sigma=2\pi\chi(\Omega)$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Формулу вывел еще Карл Фридрих Гаусс, хотя только в 1848 году французский математик Бонне Пьер Оссиан публиковал ее.

Пояснение обозначений

Топология областей интегрирования

Область $\Omega$ ограничена. Но она может быть довольно сложной, иметь одну или несколько компонент связности:

$(2) \qquad \Omega = \Omega_1 + \Omega_2 + \dots$

Очевидно, что при этом первый интеграл в формуле (1) разбивается на сумму интегралов по компонентам. Каждая из этих компонент $\Omega_i$ в свою очередь может быть топологически сложной.

В частности область $\Omega$ может полностью покрывать замкнутое многообразие (например сферу, тор, …) и не иметь границы вовсе — тогда второго интеграла в формуле (1) не будет:

$(3) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma = 2 \pi \chi(\Omega)$

В других случаях предел $L_i$ области $\Omega_i$ может состоять из одного контура (например, если область гомеоморфна кругу), или большего количества контуров $L_{ij}$ (например, если область является кольцом между двумя концентрическими кругами):

$(4) \qquad L_i = \sum_j L_{ij}$

В этих случаях интеграл по границе $L$ также разбивается на сумму интегралов по $L_{ij}$.

Кривизны

Буквой $K$ под первым интегралом (1) обозначена кривизна Гаусса второй степени, которая для двумерного многообразия равна половине скалярной кривизны:

$(5) \qquad K = K^{[2]} = {R \over 2}$

Геодезическая кривизна $\mathbf{k}_g$ кривой является вектором, ортогональным к единичному касательному вектору $\boldsymbol{\tau} = {d \mathbf{r} \over d s}$, который лежит в многообразии. Но в формуле (1) $k_g$ обозначена скалярная величина — проекция вектора геодезической кривизны на направление нормали, направленной внутрь области $\Omega$.

Запишем вышесказанное математически. Компоненты вектора геодезической кривизны вычисляются через тензорную производную единичного касательного вектора $\tau^i$ по натуральному параметру кривой:

$(6) \qquad k_g^i = {D \tau^i \over D s} = {d \tau^i \over d s} + \Gamma^i_{jk} \tau^j \tau^k$

Нормаль к вектору $\tau^i$ можно образовать действием единичного антисимметричного тензора $\varepsilon^{ij}$, а потому (при надлежащем выборе направления обхода контура):

$(7) \qquad k_g^i = k_g \varepsilon^{ij} \tau_j$

Коэффициент k g в правой части формулы (7) тот же, который стоит под вторым интегралом в формуле (1).

Изломы на контурах

В предыдущем подпункте мы рассматривали гладкий контур $L$. Но нетрудно, используя предельный переход, обобщить формулу (1) для кусочно-гладкой границы, состоящей из гладких дуг, сходящихся под некоторым углом между собой. Если в точке излома $P_i$ касательный вектор $\boldsymbol{\tau}$ разворачивается на угол $\phi_i$ в сторону области $\Omega$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула (1) обобщается до такой:

$(8) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega)$

В этой формуле второй интеграл берется на гладких участках дуг границы $L$. Для вывода формулы (8) область $\Omega$, которая имеет изломы на грани, нужно аппроксимировать областью $\tilde\Omega$, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.

Эйлерова характеристика

Ограниченную двумерную область $\Omega$ можно разбить линиями на несколько меньших подобластей $\Omega_1, \, \Omega_2, \dots$, гомеоморфных кругу. Линии в свою очередь можно разделить точками на дуги, гомеоморфные отрезку. Если обозначить количество точек буквой $B$ (вершины графа), количество дуг буквой $P$ (ребра графа), а количество подобластей буквой $\Gamma$ (грани), то следующее целое число:

$(9) \qquad \chi = B - P + \Gamma$

не зависит от способа разбиения области $\Omega$ и называется характеристикой Эйлера. Для каждой подобласти $\Omega_k$ можно найти карту (систему координат $\{u^1,\, u^2 \}$), которая отражает область евклидовой плоскости в $\Omega_k$.

Три этапа доказательства теоремы Гаусса-Бонне

На первом этапе доказываем теорему для простой области, гомеоморфной кругу, с гладкой границей. На втором этапе предельным переходом распространяем теорему на простую область с углами. На третьем (топологическом) этапе объединяем и склеиваем простые области в произвольную область и показываем, что при операциях объединения и склейки формула (1) остается справедливой.

Первый этап доказательства

Вычисление характеристики Эйлера

Вычислим характеристику Эйлера для простой области $\Omega$. Граница этой области является контуром $L$, гомеоморфным окружности. Поставим на этом контуре две точки $P$ и $Q$, которые разбивают наш контур на две дуги, гомеоморфные отрезку. Имеем две вершины, два ребра и одну грань — саму область $\Omega$, поэтому по формуле (9) имеем:

$(10) \qquad \chi = B - P + \Gamma = 2 - 2 + 1 = 1$

и нам надо доказать следующую формулу для этого случая:

$(11) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s = 2 \pi$

Векторы на контуре

Возьмем точку $P$ на контуре $L$. Обозначим буквой $\mathbf{n}$ вектор нормали к контуру, направленный внутрь области $\Omega$. При надлежащем выборе направления обхода контура компоненты этого вектора выражаются через касательный вектор $\tau^i$ и единичный антисимметричной тензор $\varepsilon_{ij}$:

$(12) \qquad n_i = \varepsilon_{ij} \tau^j$

При обходе контура, очевидно, векторы $\mathbf{n}$ и $\boldsymbol{\tau}$ вернутся на угол $2 \pi$ и совпадут с исходными значениями этих векторов.

Чтобы отследить, как осуществляется этот поворот, рассмотрим параллельный перенос векторов. Как известно, при параллельном переносе двух векторов сохраняются длины векторов и угол между ними. Пусть векторы $\mathbf{v}$ и $\mathbf{w}$ совпадают с векторами $\boldsymbol{\tau}$ и $\mathbf{n}$ в начальной точке $P$, но потом при обходе контура переносятся параллельно и после обхода оказываются повернутыми на некоторый угол $\Delta \alpha$. Эти два вектора образуют ортонормированный базис:

$(13) \qquad \mathbf{v}^2 = \mathbf{w}^2 = 1, \qquad (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) = 0$

$(14) \qquad w_i = \varepsilon_{ij} v^j$

Разложим единичный касательный вектор $\boldsymbol{\tau}$ по базису $\{ \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$:

$(15) \qquad \boldsymbol{\tau} = \mathbf{v} \cos \varphi + \mathbf{w} \sin \varphi$

где $\varphi$ — угол, на который повернут вектор $\boldsymbol{\tau}$ относительно вектора $\mathbf{v}$. В начале обхода $\varphi = \varphi_0 = 0$. В конце обхода вектор $\boldsymbol{\tau}$ вернется на угол $2 \pi$, а вектор $\mathbf{v}$ на угол $\Delta \alpha$, поэтому:

$(16) \qquad \varphi_1 = 2 \pi - \Delta \alpha$

Повороты векторов на контуре и геодезическая кривизна

Имеем следующие тензорные дифференциалы векторов вдоль контура:

$(17) \qquad D \tau^i = d \tau^i + \Gamma^i_{jk} \tau^j d u^k = k_g^i d s$

$(18) \qquad D v^i = d v^i + \Gamma^i_{jk} v^j d u^k = 0$

$(19) \qquad D w^i = d w^i + \Gamma^i_{jk} w^j d u^k = 0$

поэтому при дифференцировании равенства (15) получаем:

$(20) \qquad k_g^i d s = - v^i \sin \varphi \, d \varphi + w^i \cos \varphi \, d \varphi =$

$= \varepsilon^{ij} (w_j \sin \varphi + v_j \cos \varphi )\, d \varphi = \varepsilon^{ij} \tau_j d \varphi$

Сравнивая формулы (20) и (7), находим:

$(21) \qquad k_g d s = d \varphi$

$(22) \qquad \oint_L k_g ds = \int_{\varphi _0}^{\varphi _1} d \varphi = 2 \pi - \Delta \alpha$

Сравнивая формулы (22) и (11), получаем следующую формулу, которую нам остается доказать:

$(23) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma = \Delta \alpha$

Применение формулы Остроградского-Гаусса

В левой части формулы (23) стоит интеграл по двумерной области $\Omega$, а в правой — поворот вектора при параллельном переносе вокруг границы $L$ области $\Omega$, который естественно будет выразить через контурный интеграл. Эти два интеграла — интеграл по двумерной области и интеграл по границе этой области — можно, примененяя формулу Остроградского-Гаусса. Но для этого понадобится вспомогательное векторное поле, которое определено и дифференцируемые всюду внутри области $\Omega$ и на ее границе $L$.

Выбор вспомогательного векторного поля

Поскольку на контуре $L$ нас могут интересовать только углы между векторами, а не их длины, то целесообразно выбрать вспомогательное векторное поле $\mathbf{a}$ единичной длины, причем не только на контуре, но и везде внутри области $\Omega$:

$(24) \qquad \mathbf{a}^2 = g_{ij} a^i a^j = g_{11} (a^1)^2 + 2 g_{12} a^1 a^2 + g_{22} (a^2)^2 = 1$

Очевидно, что условие (24) вместе с непрерывностью поля $\mathbf{a}$ накладывает некоторые ограничения — это поле не может иметь внутри $\Omega$ точек завихрения или точек, из которых векторы расходятся (или наоборот, сходятся) в разные стороны. В остальном поле достаточно произвольное.

Например (хотя и необязательно) можно взять вектор, направленный вдоль одного из координатных векторов. Ковариантные координаты этого вектора:

$(25) \qquad a^1 = {1 \over \sqrt{g_{11}}}, \qquad a^2 = 0$

Вычисление поворота вектора при параллельном переносе по контуру

На контуре $L$ разложим единичный вектор $\mathbf{a}$ по базису $\{ \mathbf{v}, \mathbf{w} \}$:

$(26) \qquad a^i = v^i \cos \alpha + w^i \sin \alpha$

Здесь векторы $\mathbf{v}$ и $\mathbf{w}$ , как указано выше — осуществляют параллельный обход контура. Угол $\alpha$ между векторами $(\widehat{\mathbf{v}, \mathbf{a}})$ является функцией от натурального параметра $s$ на контуре $L$:

$(27) \qquad \alpha = \alpha(s); \qquad \alpha(0) = \alpha_0, \; \alpha(s_{\text{max}}) = \alpha_1$

Поскольку при обходе контура вектор $\mathbf{a}$ не меняет направления, а вектор $\mathbf{v}$ поворачивается на угол $\Delta \alpha$, то:

$(28) \qquad \Delta \alpha = - (\alpha_1 - \alpha_0)$

Знак минус в этой формуле возник вследствие того, что возвращается сам базис, относительно которого мы меряем $\alpha$.

Продифференцируем формулу (26) вдоль кривой $L$:

$(29) \qquad D a^i = (-v^i \sin \alpha + w^i \cos \alpha ) \, d \alpha$

Тензорный дифференциал вектора $\mathbf{a}$ можно записать через ковариантную производную:

$(30) \qquad D a^i = d a^i + \Gamma^i_{jk} a^j d u^k = \left ( \partial_k a^i + \Gamma^i_{jk} a^j \right ) d u^k = (\nabla_k a^i) \tau^k\, d s$

Правая же часть формулы (29) выражается через вектор:

$(31) \qquad b_i = \varepsilon_{ij} a^j = \varepsilon_{ij} \left ( v^j \cos \alpha + w^j \sin \alpha \right ) = w_i \cos \alpha - v_i \sin \alpha$

который является единичным вектором, повернутым на угол ${\pi \over 2}$ относительно вектора $\mathbf{a}$.

Получение контурного интеграла

Подставив (30) и (31) в формулу (29), мы получим векторное уравнение:

$(32) \qquad (\nabla_k a^i) \tau^k\, d s = b^i d \alpha$

в котором нас интересует скалярная функция $\alpha = \alpha(s)$. Умножим (32) скалярно на единичный вектор $b_i$ и возьмем интеграл:

$(33) \qquad \int_0^{s_{\text{max}}} (b_i \nabla_k a^i) \tau^k\, d s = \int_0^{s_{\text{max}}} d \alpha = \alpha_1 - \alpha_0 = - \Delta \alpha$

Интеграл в левой части этого равенства фактически является интегралом по контуру. Для применения формулы Остроградского-Гаусса нам нужно, чтобы подынтегральное выражение было скалярным произведением некоторого вектора $\mathbf{q}$ на вектор внешней нормали (в наших обозначениях это $- n_i = - \varepsilon_{ij} \tau^j$).

Фактическое применение формулы Остроградского-Гаусса

Умножая уравнения (12) на $\varepsilon^{ik}$, мы можем найти касательный вектор $\tau^k$:

$(34) \qquad \varepsilon^{ik} n_i = \left ( \varepsilon^{ik} \varepsilon_{ij} \right ) \tau^j = \delta^k_j \tau^j = \tau^k$

и подставить его в подынтегральное выражение формулы (33), одновременно переименовывая индексы:

$(35) \qquad (b_i \nabla_k a^i) \tau^k = \left ( \varepsilon^{ik} b_l \nabla_k a^l \right ) n_i$

Выражение в скобках в правой части этого уравнения и будет тем вектором $\mathbf{q}$:

$(36) \qquad q^i = \varepsilon^{ik} b_l \nabla_k a^l$

который подставляем в уравнение (33):

$(37) \qquad \oint_L (\mathbf{q} \cdot \mathbf{n}) d s = - \Delta \alpha$

Интеграл представляет собой поток вектора $\mathbf{q}$ внутрь контура $L$, учитывая наш выбор направления нормали $\mathbf{n}$. Применяя формулу Остроградского-Гаусса (и учитывая знак), имеем интеграл от дивергенции:

$(38) \qquad \iint_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}) d \sigma = \Delta \alpha$

Завершение вычислений

Сравнивая формулы (38) и (23), мы видим, что для завершения первого этапа нам достаточно проверить равенство подынтегральных выражений этих формул:

$(39) \qquad K = (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}) = \nabla_i q^i$

Дивергенция вектора (36) разлагается на два слагаемых:

$(40) \qquad \nabla_j q^j = \nabla_j \left ( \varepsilon^{jk} b_i \nabla_k a^i \right ) = \varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j b_i \right ) \left ( \nabla_k a^i \right ) + b_i \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i$

Начнем со второго слагаемого, точнее из части этого слагаемого без множителя $b_i$. Поскольку тензор $\varepsilon^{jk}$ антисимметричен, то:

$(41) \qquad \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i = {1 \over 2} \varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j \nabla_k - \nabla_k \nabla_j \right ) a^i = {1 \over 2} \varepsilon^{jk} R^i_{\,sjk} a^s = {1 \over 2} \varepsilon^{jk} R^{is}_{jk} a_s$

Тензор Римана для двумерного многообразия можно выразить через кривизну Гаусса K:

$(42) \qquad R^{is}_{jk} = K \left ( \delta^i_j \delta^s_k - \delta^i_k \delta^s_j \right )$

Поэтому выражение (41) упрощается:

$(43) \qquad \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i = {K \over 2} \varepsilon^{jk} \left ( \delta^i_j \delta^s_k - \delta^i_k \delta^s_j \right ) a_s = {K \over 2} 2 \varepsilon^{is} a_s = K b^i$

а следовательно, второе слагаемое формулы (40) просто равно Гауссовой кривизне:

$(44) \qquad b_i \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i = K b_i b^i = K$

Остается показать, что первое слагаемое формулы (40) равно нулю.

$(45) \qquad \varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j b_i \right ) \left ( \nabla_k a^i \right ) = 0$

Это прямо следует из того факта, что производные единичного двухмерного вектора факторизуются (раскладываются на множители):

$(46) \qquad \nabla_j b_i = \lambda_j a_i, \qquad \nabla_k a^i = \mu_k b^i$

Действительно, подставляя (46) в (45) получим выражение:

$(47) \qquad \left ( \varepsilon^{jk} \lambda_j \mu_k \right ) \left (a_i b^i \right )$

в котором скалярное произведение векторов в других скобках равно нулю.

Наконец покажем справедливость разложения (46). Из единичности вектора $\mathbf{a}$ следует:

$(48) \qquad a_i \nabla_k a^i = g_{ij} a^j \nabla_k a^i = {1 \over 2} \nabla_k \left ( g_{ij} a^j a^i \right ) = {1 \over 2} \nabla_k 1 = 0$

Поскольку вектор $\mathbf{b}$ также ортогонален к $\mathbf{a}$, то имеем следующую однородную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1, \, a_2$:

$(49) \qquad \begin{cases} (\nabla_k a^1) a_1 + (\nabla_k a^2) a_2 = 0 \\ b^1 a_1 + b^2 a_2 = 0 \end{cases}$

Эта система имеет ненулевое решение, поэтому матрица ее коэффициентов:

$(50) \qquad \begin{bmatrix} \nabla_k a^1 & \nabla_k a^2 \\ b^1 & b^2 \end{bmatrix}$

вырожденная и строки этой матрицы пропорциональны. То есть, мы имеем второе уравнение (46). Первое уравнение получается аналогично.

Формула (11) доказана.

Второй этап доказательства

Рассмотрим простую область с кусочно-гладкой границей. Мы можем сгладить все углы, вписывая гладкую дугу $AB$ в каждый криволинейный угол $P$ (см. рисунок).

Получаем область с гладкой границей, к которой можно применить теорему Гаусса-Бонне, доказанную на первом этапе. Попробуем совершить предельный переход формулы (11), стягивая дугу $AB$ в точку излома $P$.

Первый интеграл формулы (11) для сглаженной и несглаженной кривых отличается на величину интеграла по криволинейному треугольнику $ABP$

$(51)\qquad \iint_{\triangle ABP} K d \sigma$

Поскольку площадь этого треугольника стремится к нулю, а гауссова кривизна $K$ ограничена, то и величина (51) стремится к нулю. Так что при предельном переходе первый интеграл

$(52)\qquad \iint_{\Omega} K d \sigma$

сохраняет свой ​​вид, только область $\Omega$ может иметь изломы на контуре.

Со вторым (контурным) интергалом сложнее. Рассмотрим сначала случай плоского многообразия (евклидову плоскость). В этом случае параллельный перенос не зависит от пути и поэтому имеем угол между векторами, находящимися в разных точках. Интегрирование геодезической кривизны по дуге $AB$, согласно формуле (22) дает угол между касательными в точках $A$ и $B$:

$(53) \qquad \int_{\smile AB} k_g d s = \phi_A - \phi_B$

При предельном переходе эта величина стремится к углу $\phi$ между двумя касательными векторами в точке излома $P$:

$(54)\qquad \qquad \int_{\smile AB} k_g d s \to \phi$

а интегралы по (выброшенным при сглаживании) дугам $AP$ и $PB$ стремятся к нулю, поскольку геодезическая кривизна этих дуг остается ограниченной, а их длина уменьшается до нуля.

Из формулы (54) следует формула (8) при $\chi(\Omega) = 1$, что и требовалось доказать.

Нам еще остается доказать, что формула (54) имеет место и в общем случае искривленного многообразия. Выберем систему координат на многообрази в окрестности точки $P$, такую​​, что метрический тензор $g_{ij}$ в точке $P$ записывается единичной матрицей $\delta_{ij}$, а символы Кристоффеля в этой точке равны нулю.

Данную систему координат $\{u^1, u^2\}$ можно рассматривать как диффеоморфное отображение между областью многообразия и областью плоскости (карты), в которой эта система координат является декартовой.

Обозначим $d t$ элемент длины кривой на карте:

$\qquad dt = \sqrt{(u^1)^2 + (u^2)^2}$

а буквой с тильдой $\tilde k_g$ - геодезическую кривизну кривой на карте. Тогда:

$(55) \qquad k_g = \varepsilon_{ij} \tau^i k^j = \varepsilon_{ij} {d u^i \over d s} \left ( {d^2 u^j \over d s^2} + \Gamma^j_{kl} {d u^k \over d s} {d u^l \over d s} \right )$

$(56) \qquad \tilde k_g dt = \hat \varepsilon_{ij} \dot{u}^i \ddot{u}^j d t$

$(57) \qquad k_g d s = {\sqrt{g} \over \dot{s}^2} \hat \varepsilon_{ij} \dot{u}^i \left (\ddot{u}^j + \Gamma^j_{kl} \dot{u}^k \dot{u}^l \right ) \; d t$

Точками обозначены производные по параметру $t$. Из двух последних формул уже можно сделать вывод об одинаковости, с точностью до бесконечно малых слагаемых, двух интегралов от геодезической кривизны по дуге $AB$, один из которых берется по многообразию, а второй по карте:

$\qquad \int_{\smile AB} k_g d s \simeq \int_{\smile AB} \tilde k_g d t$

но для этого нужны два дополнительных предположения, чтобы исключить чрезмерную длину дуги $AB$ за счет осцилляций или закручиваний в спираль. А именно, предположим, что знак геодезической на дуге $AB$ постоянный, а также, что дуга $AB$ не имеет других общих точек с криволинейным углом, кроме своих концов.

Действительно, множитель

$\qquad {\sqrt{g} \over \dot{s}^2} = {\sqrt{g} \over {g_{11} \cos^2 \alpha + 2 g_{12} \cos \alpha \sin \alpha + g_{22} \sin^2 \alpha}} \to 1$

стремится к единице, а символы Кристоффеля к нулю в результате специального выбора системы координат. Следовательно, и в общем случае справедлива граница (54), а потому для простой области доказан вариант формулы (8):

$(58) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi$

Третий этап доказательства

Разобьем топологически сложную область $\Omega$ на конечное количество простых подобластей $\Omega_i$, к каждой из которых можно применить формулу (58).

Характеристика Эйлера вычисляется по формуле (9)

$\qquad \chi = B - P + \Gamma$

где $B, P, \Gamma$ обозначают количества вершин, ребер и граней (подобластей $\Omega_i$). Для простоты доказательства будем считать все ребра полученного графа плавными кривыми и что все изломы на контурах происходят при вершинах графа. Удобно рассматривать внутренние углы $\alpha_{ij}$ при всех вершинах графа. Здесь первый индекс ($i$) нумерует все вершины, как внутренние, так и те, что лежат на границе области $\partial \Omega$. Второй индекс ($j$) нумерует углы при вершине $A_i$. Излом $\phi_{ij}$ при вершине является дополнением к внутреннему углу:

$\phi_{ij} = \pi - \alpha_{ij}$

и мы можем найти сумму формул (58) для всех подобластей $\Omega_i$:

$(59) \qquad 2 \pi \Gamma = \sum_{\Omega_i} \iint_{\Omega_i} K d \sigma + \sum_{L_i} \int_{L_i} k_g d s + \sum_{A_i} \sum_j (\pi - \alpha_{ij})$

Разберемся с каждым из трех слагаемых в правой части формулы (59). Первое слагаемое, очевидно, равно интегралу по всей области $\Omega$:

$(60) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma = \sum_{\Omega_i} \iint_{\Omega_i} K d \sigma$

Во втором слагаемом нужно различать внешние ребра $L_i \in \, \partial \Omega$, которые лежат на границе, от внутренних. Интегрирование по внутреннему ребру происходит дважды, при рассмотрении двух смежных подобластей, разделенных данным ребром. Причем проекции геодезической кривизны будут противоположными:

$\qquad k_g = (\mathbf{k}_g \cdot \mathbf{n}) = - (\mathbf{k}_g \cdot \mathbf{n'}) = - {k_g}'$

Все интегралы по внутренним ребрам взаимно компенсируются и в сумме (59) остаются только интегралы по внешним ребрам:

$(61) \qquad \sum_{L_i} \int_{L_i} k_g d s = \sum_{L_i \in \, \partial \Omega} \int_{L_i} k_g d s$

Перейдем к рассмотрению третьего слагаемого формулы (59). Для каждой внутренней вершины имеем:

$(62) \qquad \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = \pi \rho_i - 2 \pi$

где $\rho_i$ - количество концов (внутренних) ребер, которые сходятся в этой вершине. Для вершины на границе области $\Omega$ имеем:

$(63) \qquad \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = \pi \rho_i + (\pi - \hat A_i) = \pi \rho_i + \phi_i$

где $\rho_i$ так же, как и в предыдущей формуле, обозначает количество концов внутренних ребер, которые сходятся в вершине $A_i$, а $\phi_i$ обозначает угол, на который возвращается касательный к линии границы вектор при переходе через точку $A_i$.

Поскольку каждое ребро имеет два конца, то сумма всех этих концов равна удвоенному количеству внутренних ребер:

$(64) \qquad \sum_i \rho_i = 2 P_{\mbox{int}}$

и мы можем записать для третьего слагаемого:

$(65) \qquad \sum_{A_i} \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = 2 \pi \left ( P_{\mbox{int}} - B_{\mbox{int}} \right ) + \sum_{A_i \in \partial \Omega} \phi_i$

Очевидно, что граница $\partial \Omega$ состоит из нескольких контуров, гомеомеорфных кругу. На каждом таком контуре, а следовательно и на всей границе $\partial \Omega$, количество вершин $B_{\partial \Omega}$ и количество ребер $P_{\partial \Omega}$ одинаково. Имеем:

$(66) \qquad P_{\mbox{int}} - B_{\mbox{int}} = \left ( P_{\mbox{int}} + P_{\partial \Omega} \right ) - \left ( B_{\mbox{int}} + B_{\partial \Omega} \right ) = P - B$

Подставим формулы (60), (61), (65) и (66) (59). Получаем:

$(67) \qquad 2 \pi \Gamma = \iint_{\Omega} K d \sigma + \sum_{L_i \in \, \partial \Omega} \int_{L_i} k_g d s + \sum_{A_i \in \partial \Omega} \phi_i + 2 \pi (P - B)$

что является эквивалентом формулы (8). Теорема полностью доказана.

Вариации и обобщения

Эта формула допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Формула Гаусса

Ссылки

• С.Е. Степанов , Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116–121.