Формула Кирхгофа

Фо́рмула Ки́рхгофа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f$, где функции $u=u(\mathbf {x} ,t)$ и $f=f(\mathbf {x} ,t)$ определены на $(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}$, а $\triangle$ — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в $n$-мерной однородной среде со скоростью $a$ в моменты времени $t>0$.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени $t=0$:

$u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x}}),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x}})$

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

$u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2}}}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y}$

где поверхностные интегралы берутся по сфере $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени $t=0$ на некотором компакте $M$ есть локальное возмущение ($\varphi _{0}\neq 0$ и/или $\varphi _{1}\neq 0$). Если мы находимся в некоторой точке ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|$.

Вне отрезка времени $\left[t_{1};t_{2}\right]$, где $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|$, функция $u(x_{0},t)$ равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в $\mathbb {R} ^{2}$, уже не будет компактным в $\mathbb {R} ^{3}$, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона — Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

$u_{tt}=a^{2}\triangle u+f$

(функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

задаётся формулой:

$u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d\tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}$.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

имеет вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

В область $\mathrm {II}$ приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области $\mathbb {R} ^{1}\times [0,T]$. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$, то есть оно определяется двумя семействами характеристик: $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии $x\geq 0$. Видно, что в область $\mathrm {I}$ приходят как $\xi$-характеристики, так и $\eta$-характеристики, в то время как в области $\mathrm {II}$ есть только $\xi$-характеристики. То есть, в области $\mathrm {II}$ формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle u+f({\bar {x}},t)$ с начальными условиями $u({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ u_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}})$ и искать решение в виде суммы трех функций: $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$, которые удовлетворяют следующим условиям:

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle A+f({\bar {x}},t),\qquad A({\bar {x}},0)=0,\ A_{t}({\bar {x}},0)=0;$

${\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle B,\qquad B({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ B_{t}({\bar {x}},0)=0;$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle C,\qquad C({\bar {x}},0)=0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).$

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть $\varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2}}}$. Тогда после замены $\xi =x+3y-2z$ уравнение для задачи «С» примет вид:

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{2}}},\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2}}}.$

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

$C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).$

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области $t>0$.

Литература

• Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6.

Ссылки

• Раздел о формуле Д’Аламбера