Формула Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть функция f(x,\;y) непрерывна вместе со своей первой производной {\partial f(x,\;y) \over \partial y} на прямоугольнике [\alpha,\;\beta] \times [c,\;d] (отрезок [\alpha,\;\beta] включает в себя множества значений a(y),\;b(y)\ ), a функции a(y),\;b(y) дифференцируемы на [c,\;d]. Тогда интеграл I(y) = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} f(x,\;y) \,dx дифференцируем по y на [c,\;d] и справедливо равенство

 I'(y) = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} {\partial \over \partial y}  f(x,\;y) \,dx + f(b(y),\;y) {b'(y)} -  f(a(y),\;y) {a'(y)}.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Ч.1. — 2-е изд., перераб. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.