Формула Маграбе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть S_1(t) и S_2(t) — цены двух рискованных активов в момент t, каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный q_i. Опцион C, который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения T. Другими словами его выигрыш C(T) составит \max(0, S_1(T) - S_2(T)).

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность \sigma их отношения S_1/S_2 является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности S_i равны \sigma_i, то  \textstyle\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1\sigma_2\rho}, то \rhoкоэффициент корреляции броуновских движений S_i.

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

e^{-q_1 T}S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T}S_2(0) N(d_2)

где через N обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

d_1 = \frac{\ln (S_1(0)/S_2(0)) + (q_2 - q_1 + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}},

d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Формула доказывается сведением к формуле Блэка - Шоулза:

  • Во первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах S_2 (в таких случаях говорят, что S_2 используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит S_1/S_2 единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
  • При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка q_2 совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен \max(0, S_1(T)/S_2(T) - 1).
  • Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка q_1 первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
  • Применяя формулу Блэка - Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива S_1(0)/S_2(0), процентная ставка q_2, волатильность \sigma и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
  • Так как окончательная цена опциона выражена в единицах S_2, то умножение на S_2(0) переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg

Литература[править | править вики-текст]

  • William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177–186, 1978
  • Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169–176, 1978