Формула Муавра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Муавра для комплексных чисел z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \ утверждает, что

z^n =r^n( \cos \varphi + i \sin \varphi )^n =r^n( \cos n\varphi + i \sin n\varphi )\

для любого n \in \mathbb{Z}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера  e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \ и тождества для экспонент  (e^{a})^{b} = e^{ab} \! , где b — целое число.[1]

Применение[править | править вики-текст]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени комплексного многочлена всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в нуле.

История[править | править вики-текст]

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Если b — нецелое число, то  (e^{a})^{b} \!  — многозначная функция переменной a и  e^{ab} \! является лишь одним из её значений.