Формула Муавра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Формула Муавра для комплексных чисел $z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \$ , заданная в тригонометрической форме — формула

$(r(\cos \phi + i \sin \phi))^n = r^n(\cos n\phi + i \sin n\phi) \$ для любого $n \in \Z$

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера $e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi \$ и правила для экспонент $(e^{a})^{b} = e^{ab} \!$ , верного, если b — целое число. (Если b — не целое, то $(e^{a})^{b} \!$ — многозначная функция переменной a и $e^{ab} \!$ — одно из её значений.)

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =$
$= r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$
$\quad k=0,1...n-1$

Отметим, что корни $n$ -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в точке $0$ .