Формула Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (Спектральной Плотности Энергетической Светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения u(\omega, T): u(\omega,T) =\frac{ \omega^2}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{ e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}

Формула Планка («форма» зависимости u от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:


\varepsilon = \hbar \omega

Коэффициент пропорциональности \hbar впоследствии назвали постоянной Планка, \hbar = 1.054 · 10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса

Вывод для абсолютно чёрного тела[править | править вики-текст]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой частотой \omega. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

E_n=\hbar \omega (n+1/2)

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

W_n=1/Ze^{-E_n/kT}

Статистическая сумма Z равна

Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2(\hbar \omega /kT)} \sum (e^{-\hbar \omega /kT})^n= \frac {e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}

Свободная энергия равна

\Psi=-kT \ln Z=\frac {\hbar \omega } {2 }+kT \ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})

Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса-Гельмгольца

\overline{\varepsilon}=\sum W_n E_n=\Psi-kT \frac {\partial \Psi}{\partial (kT)}=(kT)^2\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}=(kT)^2 (\frac {\hbar \omega}{2 (kT)^2}+\frac{e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^2 }{1-e^{-\hbar \omega /kT}})

Таким образом средняя энергия, приходящаяся на полевой осциллятор равна


        \overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega}
                                      {2}+\frac{\hbar \omega}
                                      {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad
(1)

где \hbar — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от (\omega, \omega+d \omega) равно[1][2]:


        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}   \qquad\qquad
(2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем


        u( \omega , T)=\overline{\varepsilon} \frac {\mathrm{d}n_{\omega}}{\mathrm {d} \omega} = \frac{\hbar {\omega}^3}
                                      {2\pi^2 c^3}+\frac{\hbar {\omega}^3}
                                      {\pi^2 c^3 \mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad

Первое слагаемое в этой формуле связано с энергией нулевых колебаний, второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:


        u_p( \lambda , T)=\frac{4 \pi^2 \hbar c^2}    {\lambda^5 (\mathrm{exp}(2\pi\hbar c / \lambda kT) -1)}, \qquad\qquad 
(5)

Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна[править | править вики-текст]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией \varepsilon равно

\overline{n}(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\varepsilon/\Theta}-1}

По определению

u(\varepsilon)d\varepsilon=\varepsilon n(\varepsilon) d N(\varepsilon)

где dN=\frac {\varepsilon^2d\varepsilon}{\pi^2c^3\hbar^3} — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией в бесконечно малой окрестности \varepsilon=\hbar \omega.

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка

Переход к формулам Рэлея—Джинса[править | править вики-текст]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до \infty. При малых частотах (больших длинах волн), когда \hbar \omega / kT \ll 1 можно разложить экспоненту по \hbar \omega / kT. В результате получим, что  \mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 =  \hbar \omega / kT , тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.


        u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} 
и

        f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}

Переход к закону Стефана — Больцмана[править | править вики-текст]

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:


        R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega 
         = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} 
                                \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}

Введём переменную x = \hbar \omega / kT, тогда \omega = (kT/ \hbar)x , \mathrm{d} \omega = (kT/ \hbar) \mathrm{d}x, получим


        R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.

Полученный интеграл имеет точное значение: ~\pi^4 / 15 , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:


        R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4

Подстановка численных значений констант даёт значение для  \sigma = 5,66961 \cdot 10^{-8} Вт/(м2\cdot K^4), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина[править | править вики-текст]

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по \lambda и приравнять нулю (поиск экстремума):


         \frac{ \mathrm{d}u_p(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = 
    \frac{
          4 \pi^2 \hbar c^2 
                             \left\{  
                                    \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
                                    \mathrm{exp} 
                                        \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} 
                                        \right)
                                    - 5 \left[ 
                                              \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 
                                        \right]
                             \right\}
         }
         {\lambda^6 	\left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1  \right]^2} =0
.

Значение \lambda_m, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим  \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x, и получится уравнение:


       ~xe^x-5(e^x-1)=0
.

Решение такого уравнения даёт x=4,96511. Следовательно,  \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965, отсюда немедленно получается:


        T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b
.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу \lambda_{\max}T \approx 3000 \quad мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
  2. Савельев И.В., Том 3, § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258

Ссылки[править | править вики-текст]