Формула Резерфорда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Резерфóрда — формула для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц в телесный угол Ω в кулоновском поле другой неподвижной заряженной частицы или ядра (мишени). Подтверждена эмпирически Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц на тонкой золотой фольге субмикронной толщины. В системе центра инерции налетающей и рассеивающей частиц записывается следующим образом:

 \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{2mv^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^{4}{\frac{\Theta}{2}}}

где  Z_1 и  Z_2  — заряды налетающей частицы и мишени,  m, v  — масса и скорость налетающей частицы,  \Theta  — двумерный угол рассеяния,  e  — элементарный заряд,  d\sigma  — дифференциальное сечение,  \Omega  — телесный угол.

Рассеяние Резерфорда[править | править вики-текст]

В физике рассеянием Резерфорда называется феномен, описанный Эрнестом Резерфордом в 1909 году[1], и приведший к развитию планетарной модели Бора-Резерфорда. Рассеяние Резерфорда также называют кулоновским рассеянием, потому что оно базируется исключительно на силах электростатического взаимодействия, и минимальное расстояние между частицами зависит только от потенциала поля. Классическое рассеяние Резерфорда представляет собой рассеяние α-частиц на ядрах атомов золота (бомбардировка золотой пластинки α-частицами), что является примером так называемого «упругого рассеяния», так как энергия и скорость рассеянной частицы такая же, как и у налетающей.

Также Резерфорд анализировал неупругое рассеяние α-частиц на протонах (ядрах атома водорода), этот процесс не является классическим рассеянием Резерфорда, хотя наблюдался им ранее, чем классический. При приближении α-частицы к протону возникают некулоновские силы, которые вместе с энергией налетающей частицы на лёгкую мишень меняют результаты эксперимента. Эти эффекты позволяют строить предположения о внутренней структуре мишени. Похожий процесс был применён в 1960-х для исследования внутренней структуры ядра под названием глубоко неупругое рассеяние.

Первоначальное открытие было сделано Гансом Гейгером и Эрнестом Марсденом в 1909 году — эксперимент Гейгера — Марсдена — под руководством Резерфорда, в котором они бомбардировали α-частицами мишень, состоящую из нескольких сверхтонких (толщиной менее одного микрона) слоёв золотой фольги. Во время эксперимента предполагалось, что атом является аналогией пудинга с изюмом (согласно томпсоновской модели атома), где отрицательные заряды (изюм) распределены по положительно заряженному шару (пудинг). Если томпсоновская модель атома верна, то положительно заряженный пудинг будет более протяжённым, чем ядро атома в модели Бора — Резерфорда, и не сможет создавать большие силы кулоновского отталкивания, вследствие чего α-частицы будут отклоняться на малые углы от своего первоначального вектора скорости.

Однако эксперимент показал, что 1 из 8000 частиц отражается на углы более 90°, когда основная масса частиц проходит через фольгу с небольшим отклонением или вообще без него. Исходя из этого Резерфорд заключил, что основная масса и заряд вещества заключена в крошечном положительно заряженном пространстве (ядре) окруженном электронами. Когда положительная α-частица пролетает очень близко от ядра, то испытывает на себе силы кулоновского отталкивания и отражается на большие углы. Маленький размер ядра атома объясняется малым количеством α-частиц отражённых подобным образом. Используя описанный метод, Резерфорд показал, что размер ядер меньше чем 10^{-14}m (насколько «меньше» Резерфорд не мог уточнить опираясь только на этот эксперимент).

Дифференциальное сечение[править | править вики-текст]

Отталкивающее рассеяние на точечной заряженной частице.

Установленная Резерфордом в 1911 году формула дифференциального сечения:

\frac{d \sigma}{d \Omega} = \left(\frac{\alpha \hbar c}{2mv_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 (\theta / 2)}.

Все частицы проходящие через кольцо слева попадают в кольцо справа.

Подробнее о вычислении максимального размера ядра[править | править вики-текст]

При столкновении α-частицы с ядром, вся кинетическая энергия \left(\frac{mv^2}{2}\right) α-частицы превращается в потенциальную энергию, вследствие чего частица останавливается. В этот момент, расстояние от α-частицы до центра ядра (b) является максимально возможным радиусом самого ядра, это очевидно из эксперимента: если радиус сферического ядра превысит b, то частица не сможет провзаимодействовать с ним как с точечным зарядом посредством лишь кулоновских сил.

Приравнивая кинетическую энергию частицы к потенциалу электрического поля:

\frac{mv^2}{2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{b} \Rightarrow b = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 q_1 q_2}{mv^2}.

В эксперименте Гейгера — Марсдена:

  • m (масса α-частицы) = 6,7·10−27 кг
  • q1 (заряд α-частицы) = 2×(1,6·10−19) Кл
  • q2 (заряд ядра золота) = 79×(1,6·10−19) Кл
  • v (начальная скорость α-частицы) = 2·107 м/с

Подставляя эти значения в полученное уравнение для максимального радиуса ядра получаем ≈2,7·10−15 метра (радиус, измеренный современными методами ≈7,3·10−15 \approx 7.3 \cdot 10^{-15} метра). Более точно радиус ядра атома золота невозможно было получить в этом эксперименте, так как энергии α-частицы хватило только чтобы приблизиться на 27 фм (27 фемтометров 27·10−15 метра), тогда как для столкновения требовалось подойти на 7,3 фм.

Другие применения[править | править вики-текст]

На данный момент принцип рассеяния широко используется в спектроскопах обратного рассеяния чтобы определять тяжёлые элементы в решётках более лёгких атомов, например, чтобы найти вкрапления тяжёлых металлов в полупроводники. Известно, что данная технология была впервые использована на Луне для анализа почвы аппаратом «Surveyor 4», а позже аналогичные анализы проводили аппараты «Surveyor 5-7».

Примечания[править | править вики-текст]

  1. E. Rutherford, «The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom»,Philos. Mag., vol 6, pp.21, 1909

Ссылки[править | править вики-текст]