Формула Таппера

Формула Таппера (англ. Tupper's self-referential formula) — самореферентная (при определённых условиях) формула, открытая Джеффом Таппером (англ. Jeff Tupper). Будучи отображённой на плоскости, создаёт собственное изображение.

Впервые формула была опубликована в 2001 году в докладе Джеффа Таппера для SIGGRAPH, посвящённом разработанной им программе рисования графиков GrafEq.

Формула является неравенством, определённым следующим образом:

${1\over 2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor$

где $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть, а mod — оператор модуля.

Пусть k равна:

960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350
718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995
165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183
454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874
461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014
655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719

Если отобразить график функции для точек (x, y) в диапазоне $0 \le x \le 106$ и $k \le y \le k + 17$, то получится:

Сама формула имеет общее применение для декодирования растровых изображений, закодированных в константе k. Формулу можно использовать для воспроизведения произвольных изображений, при этом она не будет содержать никаких ссылок на себя.

Константа k — простой монохромный растр, используемый в формуле как двоичное число, умноженное на 17. Если k разделить на 17, то младший бит будет соответствовать верхнему правому углу; остальные 17 младших бит будут соответствовать правой колонке пикселей; следующие 17 младших бит будут соответствовать второй колонке справа и т. д.

Литература

• Tupper, Jeff. «Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables» http://www.dgp.toronto.edu/people/mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper.pdf
• Weisstein, Eric W. «Tupper's Self-Referential Formula.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TuppersSelf-ReferentialFormula.html
• Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Natick, MA: A. K. Peters, p. 289, 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf
• «Self-Answering Problems.» Math. Horizons 13, No. 4, 19, Apr. 2005
• Wagon, S. Problem 14 in http://stanwagon.com/wagon/Misc/bestpuzzles.html

Ссылки

• Jeff Tupper official site
• TupperPlot, an implementation in JavaScript