Формула Тейлора — Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула ТейлораПеано Пусть f:\mathbb C\to \mathbb C, z_0 — предельная точка множества D_f и z_0\in D_f. Если функция f n-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке z_0, то для всех z \in D_f справедлива формула Тейлора — Пеано

f(z)=\sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(z_0)(z - z_0)^k}{k!} + \varepsilon_n(z)(z - z_0)^n,

где εn(z) — непрерывная в точке z0 функция и εn(z0) = 0. Применим метод математической индукции. Если n = 0, то утверждение очевидно при εn(z) = f(z) − f(z0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n − 1 и что функция f n раз дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0. Согласно определению, существует такая n − 1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0 функция φ, что ∀z ∈ Df,

f(z) - f(z_0) = (z - z_0)\varphi(z).\quad\quad(2)

По предположению

\varphi(z) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{\varphi^{(k)}(z_0)(z - z_0)^k}{k!} + \varepsilon_{n - 1}(z)(z - z_0)^{n - 1},\quad\quad(3)

где \varepsilon_{n - 1}(z) - непрерывная в точке z0 функция и \varepsilon_{n - 1}(z_0) = 0. Из равенств (2) и (3) получаем:

f(z) = f(z_0) + (z - z_0)\left(\sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(z_0)(z - z_0)^k}{k!} + \varepsilon_n(z)(z - z_0)^n\right) =

=f(z_0) + \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k + 1)}(z_0)}{k + 1}\frac{(z - z_0)^{k + 1}}{k!} + \varepsilon_{n - 1}(z)(z - z_0)^n,

что равносильно формуле (1) при \varepsilon_n = \varepsilon_{n - 1}.

Литература[править | править вики-текст]

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.