Формула Тейлора — Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула ТейлораПеано Пусть f:\mathbb C\to \mathbb C, z_0 — предельная точка множества D_f и z_0\in D_f. Если функция f n-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке z_0, то справедлива формула Тейлора — Пеано

f(z)=\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} \frac{f^{(k)} (z_0 )(z - z_0 )^k}{k!}  + \varepsilon_n (z)(z - z_0 )^n,   \forall z \in D_f

где εn(z) - непрерывная в точке z0 функция и εn(z0)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при εn (z)=f(z)-f(z0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0 функция φ, что ∀z∈Df,

{\rm{f(z) - f(z}}_{\rm{0}} {\rm{) = (z - z}}_{\rm{0}} {\rm{)}}\varphi {\rm{(z) (2)}}

По предположению

\varphi {\rm{(z) = }}\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {\varphi ^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}}  + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^{n - 1} ,(3)

где \varepsilon _{n - 1} (z) - непрерывная в точке z0 функция и \varepsilon _{n - 1} (z_0 ) = 0. Из равенств (2) и (3) получаем:

{\rm{f(z) = f}}(z_0 ) + (z - z_0 )(\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{\rm{f}}^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}}  + \varepsilon _n (z)(z - z_0 )^n ) = {\rm{f}}(z_0 ) + \sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{f}}^{{\rm{(k + 1)}}} (z_0 )} \over {k + 1}}{{(z - z_0 )^{k + 1} } \over {k!}}}  + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^n,

Что равносильно формуле (1) при \varepsilon _n  = \varepsilon _{n - 1}

Литература[править | править вики-текст]

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.