Формула Торричелли (гидродинамика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].

TorricelliLaw.svg

Формула Торричелли утверждает, что скорость v истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине h от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты h, то есть

v = \sqrt{2gh},

где gускорение свободного падения.

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии \frac{1}{2}mv^2 и потерянной потенциальной энергии mgh.

Эта формула была получена (хотя и не в приведённой выше форме[2]) итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Вывод[править | править вики-текст]

Закон Бернулли утверждает, что:

{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{const},

где v – это скорость жидкости, z – высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p – давление, ρ – плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z=0. У поверхности жидкости в резервуаре, давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z=0 и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

gz+{p_{atm}\over\rho}={v^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}
\Rightarrow v^2=2gz\,
\Rightarrow v=\sqrt{2gz}

z равно высоте h, и таким образом:

v=\sqrt{2gh}.

Литература[править | править вики-текст]

  • T. E. Faber Fluid Dynamics for Physicists. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2.
  • Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Торричелли формула. Статьи в Физической энциклопедии и Физическом энциклопедическом словаре.
  2. См.французский перевод оригинального текста Торричелли, в котором имеется утверждение о том, что струя воды, вытекающая из сосуда, поднимается до уровня жидкости в сосуде (последний абзац на стр. 64 и рисунок на стр. 65).