Формула Фаа-ди-Бруно

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Фаа ди Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно 1855), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m1, …, mn), удовлетворяющих ограничению:

1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.\,

Иногда, для лучшего запомнинания, формула записывается в следующем виде, однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации:

{d^n \over dx^n} f(g(x))
=\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot
f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot
\prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.

Суммируя члены с фиксированным значением m1 + m2 + … + mn = k и заметив, что m j должен быть равен нулю при j > n − k + 1 можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла Bn,k(x1, …,xnk+1):

{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).

Комбинаторная форма[править | править вики-текст]

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)

где

  • π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
  • "B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
  • |A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример[править | править вики-текст]

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:


\begin{align}
(f\circ g)''''(x) 
& = f''''(g(x))g'(x)^4 
+ 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\
& {} \quad+\; 3f''(g(x))g''(x)^2
+  4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\
& {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x).
\end{align}

Все действия выполняются по следующем образцу:


\begin{align}
  g'(x)^4 
& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1 
& & \leftrightarrow & & f''''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1 
\\  \\
  g''(x)g'(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+1+1 
& & \leftrightarrow & & f'''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 6 
\\  \\
g''(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+2 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 3 
\\  \\
g'''(x)g'(x) 
& & \leftrightarrow & & 3+1 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 4 
\\  \\
g''''(x) 
& & \leftrightarrow & & 4 
& & \leftrightarrow & & f'(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1.
\end{align}

Множитель \scriptstyle g''(x)g'(x)^2 \; очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель \scriptstyle f'''(g(x))\; показывает, что имеется три слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно шесть разбиений множества из 4-х элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель \scriptstyle g''(x)^2 \; в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а \scriptstyle f''(g(x)) \,\! указывает на то, что в этом разбиении должно два слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только \tfrac{1}{2}\tbinom{4}{2}=3 способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов[править | править вики-текст]

Коэффициенты формулы Фаа ди Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1}
\,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} 
\,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots

равно

\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Arbogast L.F.A. Du calcul des derivations. — Levrault, 1800.

Ссылки[править | править вики-текст]