Формула Фейнмана — Каца

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

Формулировка в одномерном случае

Рассмотрим дифференциальное уравнение

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0\qquad (*)$

с неизвестной функцией $u=u(x,t)$, в котором $x\in \mathbb {R}$ и $t\in [0,T]$ — независимые переменные, $\mu ,\sigma ,V,f$ — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием

$u(x,T)=\psi (x),$

может быть выражено как условное математическое ожидание

$u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }f(X_{s},s)ds+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T})\ {\bigg |}\ X_{t}=x\right],$

где $Q$ — вероятностная мера, такая что случайный процесс $X_{t}$ является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},\qquad (**)$

в котором $W_{t}^{Q}$ — винеровский процесс, с начальным условием

$X_{0}=x$.

Многомерный вариант

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0$

и n-мерный случайный процесс $X_{t}$ описывается стохастическим уравнением

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\Sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},$

в котором $\mu$ — это вектор-столбец $(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})$, $W_{t}^{Q}$ — n-мерный винеровский процесс, $\Sigma =(\sigma _{ij})$ — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей $\Gamma =(\gamma _{ij})$ формулой

$\Gamma =\Sigma \cdot \Sigma ^{*},$

звёздочка означает транспонирование.

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Ито
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003.
• Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
• Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
• Klebaner, F.C. Introduction to Stochastic Calculus With Applications. — London, UK: Imperial College Press, 2005.
• Knill, O. Probability Theory And Stochastic Processes With Applications. — Overseas Press, 2009.