Формула Эйлера — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу (англ.)русск.). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

Формула[править | править вики-текст]

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

\sum\limits_{a \leqslant k <b}f(k) = \int\limits_a^b f(x)dx + \left.\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b + R_m,

где

R_m=(-1)^{m+1}\int\limits_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx,

здесь a \leqslant b,m — натуральное, B_kчисла Бернулли, f(x) — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные f'(x),\ldots, f^{(m)}(x), B_m(t)многочлен Бернулли, \{x\} — дробная часть x. В случае, когда R_m мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли B_n(x), n=0,1,2,\ldots определяются рекуррентно как

B_0(x) = 1,
B_n'(x) = nB_{n-1}(x), \ \int\limits_0^1 B_n(x)dx = 0, n\in\mathbb{N}.

Выражение B_n(\{x\})=P_n(x) называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член[править | править вики-текст]

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах P_n(x):

R=-\int\limits_a^b f^{(2p)}(x) \frac{P_{2p}(x)}{(2p)!}dx,

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что f^{(2p)} дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

R=\int\limits_a^b f^{(2p+1)}(x) \frac{P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}dx.

где n \geqslant 0. Можно показать, что

\left| B_n(x) \right|\leqslant \frac{2n!}{(2\pi )^n}\zeta (n),

где \zeta обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и x=0. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

\left|R\right|\leqslant\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_a^b\left|f^{(2p)}(x)\right| dx

Доказательство[править | править вики-текст]

Операторные соображения[править | править вики-текст]

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Обозначим \Delta — разностный оператор, \Sigma — оператор суммирования, D — оператор дифференцирования, \int — оператор интегрирования. \Delta обратен к \Sigma, а D - обратен к \int. Можно выразить \Delta через D с помощью формулы Тейлора:

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x) = \frac{f'(x)}{1!}+\frac{f''(x)}{2!}+\frac{f'''(x)}{3!}+\ldots = \left(\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\ldots \right)f(x)=(e^D-1)f(x),

т.е. \Delta = e^D-1 и тогда \Sigma = \Delta ^{-1} = \frac{1}{e^D-1}, а поскольку \frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{k \geqslant 0}B_k \frac{z^k}{k!}, то

\sum = \frac{B_0}{D}+\frac{B_1}{1!}+\frac{B_2}{2!}D+\frac{B_3}{3!}D^2+\ldots =\int + \sum\limits_{k \geqslant 1}\frac{B_k}{k!}D^{k-1}.

Применяя это операторное соотношение к f(x), получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом[править | править вики-текст]

Достаточно доказать формулу при a=0,b=1, поскольку мы можем любой отрезок [a;b] с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в [0;1]. При a=0,b=1 формула имеет вид

f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx+\left.\sum\limits_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_0^1+(-1)^{(m+1)}\int\limits_0^1\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x).

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При m=1, B_1(x)=x-\frac{1}{2}, и мы получаем:

f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx -\frac{1}{2}(f(1)-f(0))+\int\limits_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)f'(x).

Интегрирования по частям при u(x)=f(x),v(x)=x-\frac{1}{2}, получаем формулу при m=1.

Шаг. Шаг индукции равносилен равенству R_{m-1}=\left. \frac{B_m}{m!}f^{(m-1)}(x)\right|_0^1+R_m, т.е. нужно доказать, что

\left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1=m\int\limits_0^1 B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int\limits_0^1 B_m(x)f^{(m)}(x)dx.

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_m(x): B_m'(x)=mB_{m-1}(x), поэтому формула верна тогда и только тогда, когда

\left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1= \left. B_m(x)f^{(m-1)}(x)\right|_0^1,

то есть когда (-1)^mB_m=B_m(1)=B_m(0), а это верно, поскольку при нечётных m у нас B_m=0,.

Применение[править | править вики-текст]

Сумма степеней[править | править вики-текст]

Вычислим сумму степеней \sum\limits_{a \leqslant k <b}k^{m-1}. Положим f(x)=x^{m-1}, тогда f^{(m)}(x)=0 и R_m=0, вычисляя интегралы, получаем:

\sum\limits_{a \leqslant k <b}k^{m-1} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}B_k(b^{m-k}-a^{m-k}).

Сумма обратных квадратов[править | править вики-текст]

Вычислить сумму

 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} \cdots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна \frac{\pi ^2}{6}, что и было им доказано в том же году.[1][2]

Численное интегрирование[править | править вики-текст]

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы[править | править вики-текст]

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

\sum\limits_{n=a}^bf(n)\sim\int\limits_a^bf(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов a\to -\infty или  b\to +\infty, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{(z+k)^2}dk}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2}
+\sum\limits_{t=1}^{+\infty} \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.

Здесь левая часть равна \psi^{(1)}(z), называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как \psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z); гамма-функция \Gamma(z) равна (z-1)!, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотческое разложение \psi^{(1)}(z). Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел[править | править вики-текст]

Полагаем f(x)=x^{-1}, тогда f^{(m)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1}=O(x^{-m-1}) и тогда получаем

\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}-\theta _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},

где 0<\theta _{m,n} < 1. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера \gamma.

Аппроксимация Стирлинга для факториала[править | править вики-текст]

Полагаем f(x)=\ln x, тогда f'(x)=x^{-1}, f^{(m+1)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1} и тогда получаем

\sum\limits_{k=1}^n \ln k = n\ln n -n + \sigma -\frac{\ln n}{2}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}- \phi _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}},

где на самом деле \sigma = \ln \sqrt{2\pi}. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula", in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003.
  2. К. П. Кохась Сумма обратных квадратов // Матем. просв.. — 2004. — В. 8. — С. 142–163.

Литература[править | править вики-текст]

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
  • Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.