Формула коплощади

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула коплощади — интегральная формула связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения u.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция заданная на открытой области \R^n. Также она верна для липшицевых и соболевских функций[1].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть \Omega есть область в \R^n и u\colon\R^n\to\R^k Липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

\int\limits_\Omega g(x)\cdot|\wedge^k d_x u|\cdot dx=\int\limits_{\R^k}dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-k}\right),

где \wedge^k d_x u обозначает внешнее произведение k копий дифференциала d_x u, а H_{n-k} — (n-k)-мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Для вещественнозначной функции u, формула коплощади имеет вид

\int\limits_\Omega g(x)\cdot|\nabla u(x)|\cdot dx=\int\limits_{-\infty}^\infty dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right),

где \nabla u — градиент u.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Federer, H (1959), "«Curvature measures»", Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 93, No. 3) . — Т. 93 (3): 418–491, DOI 10.2307/1993504 .