Формула полной вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и полная группа попарно несовместных событий \{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}, таких что

  1. \forall i \; \mathbb{P} \; (B_i) > 0 ;
  2. \forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;
  3. \sum_{i=1}^n B_i=\Omega .

Пусть A \in \mathcal{F} — интересующее нас событие. Тогда

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i).

Замечание[править | править вики-текст]

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть Nслучайная величина, имеющая распределение

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n).

Тогда

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также[править | править вики-текст]