Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и полная группа попарно несовместных событий $\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}$, таких что $\forall i \mathbb{P}(B_i) > 0$  $\forall{j \ne i}$   $B_i \cap B_j = \varnothing$  $\cup_{i=1}^n B_i=\Omega$. Пусть $A \in \mathcal{F}$ — интересующее нас событие. Тогда

$\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)$.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть $N$ — случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)$.

Тогда

$\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]$,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса