Формула половины стороны

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сферический треугольник

В сферической тригонометрии, формула половины стороны применяется для решения сферических треугольников.

Формула половины стороны[править | править исходный текст]

где

  • α, β, γ — это углы сферического треугольника,
  • a, b, c — длины сторон, лежащих напротив, соответственно, углов α, β, γ,
  • S = \frac{1}{2}(\alpha +\beta + \gamma)
полусумма углов треугольника, и
  • R=\sqrt{\frac {-\cos S}{\cos (S-\alpha) \cos (S-\beta) \cos (S-\gamma)}}.

Интересно, что R является тангенсом радиуса описанной окружности данного сферического треугольника[1]:78,83. Три формулы на самом деле представляют собой одну и ту же формулу, в которой лишь заменены обозначения соответствующих углов и сторон.

Двойственная формула[править | править исходный текст]

Двойственными к формулам половины стороны являются формулы для половины угла[1]:74:


\begin{align}
\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) & = \frac{1}{\sin(s-a)}\cdot r \\[8pt]
\operatorname{tg} \left(\frac{\beta}{2}\right) & = \frac{1}{\sin(s-b)}\cdot r \\[8pt]
\operatorname{tg} \left(\frac{\gamma}{2}\right) & = \frac{1}{\sin(s-c)}\cdot r
\end{align}

где

  • s = \frac{1}{2}(a + b + c)
полусумма сторон треугольника, и
  • r=\sqrt{\frac {\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s}}.

Причём в этом случае r будет тангенсом вписанной окружности сферического треугольника[1]:74.

Аналогичная формула в планиметрии известна под названием теоремы котангенсов.

Применение[править | править исходный текст]

Формула половины стороны применяется для решения косоугольного сферического треугольника по трём сторонам, то есть когда надо по данным сторонам вычислить каждый из его углов[1]:102-104. Формула половины угла, в свою очередь, используется для решения косоугольного треугольника по трём углам, то есть когда надо при данных трёх углах вычислить каждую из его сторон[1]:104-108. Если же у сферического треугольника один из углов прямой, вместо этих формул для его решения применяется более удобное мнемоническое правило Непера.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 5 6 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.