Формулы векторного анализа

Обозначения

• оператор набла: $\nabla$
• градиент скалярного поля: $\nabla \psi = \operatorname{grad}\ \psi$
• дивергенция векторного поля: $\nabla \cdot \mathbf{A} = \operatorname{div}\ \mathbf{A}$
• ротор векторного поля: $\nabla \times \mathbf{A} = \vec{\operatorname{rot}}\ \mathbf{A}$
• лапласиан: $\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$

Линейность

Для любого числа $\alpha$:

$\ \nabla ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha \nabla \phi + \nabla \psi$	$\ \mathbf{grad} ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha\ \mathbf{grad}\ \phi + \mathbf{grad}\ \psi$
$\ \nabla \cdot ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}$	$\ \mathbf{div}\ ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ \mathbf{div}\ \mathbf{A} + \mathbf{div}\ \mathbf{B}$
$\ \nabla \times ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}$	$\ \mathbf{rot} ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ \mathbf{rot}\ \mathbf{A} + \mathbf{rot}\ \mathbf{B}$

Тождества с двумя $\nabla$ (операторы второго порядка)

$\ \nabla \times ( \nabla \psi ) = 0$	$\ \mathbf{rot}(\mathbf{grad}\ \psi) = 0$
$\ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0$	$\ \mathbf{div}\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A} ) = 0$
$\ \Delta\ \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) = \nabla^2 \psi$	$\ \Delta\ \psi = \mathbf{div}\ (\mathbf{grad}\ \psi)$
$\ \nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}$	$\ \mathbf{rot}\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A}) = \mathbf{grad}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{A}) - \Delta\mathbf{A}$

Дифференцирование произведений полей

$\nabla \cdot (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot\nabla\psi + \psi\nabla \cdot \mathbf{A}$	$\mathbf{div}(\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{grad}\psi + \psi\ \mathbf{div}\mathbf{A}$
$\nabla \times (\psi\mathbf{A}) = \nabla\psi \times \mathbf{A} + \psi\nabla \times \mathbf{A}$	$\mathbf{rot} (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{grad}\psi \times \mathbf{A} + \psi\ \mathbf{rot}\mathbf{A}$
$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} +$ $+ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$	$\ \mathbf{grad}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} +$ $+ \mathbf{A} \times \mathbf{rot} \mathbf{B} + \mathbf{B} \times \mathbf{rot} \mathbf{A}$
$\frac{1}{2} \nabla A^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}$	$\frac{1}{2}\ \mathbf{grad} A^2 = \mathbf{A} \times (\mathbf{rot} \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}$
$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B}$	$\mathbf{div}\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{B}$
$\ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) +$ $\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}$	$\ \mathbf{rot} (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{B}) - \mathbf{B}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{A}) +$ $\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Стокса
• Оператор набла в различных системах координат