Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Определение

Последовательность точек $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ метрического пространства $(X, \rho)$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное $N_\varepsilon$, что $\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\$ для всех $n, m > N_\varepsilon$.

Связанные определения

• Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства), называется полным.

Свойства

• Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится.
• Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
• Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.