Фундаментальная последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Определение[править | править вики-текст]

Последовательность точек \{x_n\}_{n=1}^\infty метрического пространства (X, \rho) называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

для любого \varepsilon > 0 существует такое натуральное N_\varepsilon, что \rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ для всех  n, m > N_\varepsilon.


Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
  • Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
  • Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
  • Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.