Фундаментальный класс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия M обычно обозначается [M].

Определение[править | править исходный текст]

Замкнутое ориентируемое многообразие[править | править исходный текст]

Если многообразие M размерности n является связным ориентируемым и замкнутым, то n-ая группа гомологий является бесконечной циклической: H_n(M,\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}. При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма \mathbf{Z} \to H_n(M,\mathbf{Z}). Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Формально несвязному ориентируему многообразию M=\cup_i M_i в качестве фундаментального класса можно сопоставить сумму \sum [M_i] фундаментальных классов всех его связных компонент M_i. Однако, этот элемент не является порождающим группы H_n(M,\mathbf{Z})=\oplus H_n(M_i,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}\oplus\dots \oplus\mathbf{Z}.

Неориентируемое многообразие[править | править исходный текст]

Для неориентируемого многообразия группа H_n(M;\mathbf{Z})=0, если при этом M является связным и замкнутым, то H_n(M;\mathbf{Z}_2)=\mathbf{Z}_2. Порождающий элемент группы H_n(M;\mathbf{Z}_2) называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M.

\mathbf{Z}_2-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем[править | править исходный текст]

Если M является компактным ориентируемым многообразием с краем \partial M, то nотносительная группа гомологий является бесконечной циклической: H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}. Порождающий элемент группы H_n(M,\partial M) называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре[править | править исходный текст]

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре D: H^k(M;\mathbf{Z}) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z}) (для ориентируемого) и D: H^k(M;\mathbf{Z}_2) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z}_2) (для неориентируемого) многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

D(\alpha)=[M]\frown\alpha,

где \frown обозначает \frown-умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения[править | править исходный текст]

Если M, N — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности, и f:M\to Nнепрерывное отображение, то

f_*[M]=k[N],

где k — некоторое целое число. Это число называется степенью отображения f и обозначается deg f.

Литература[править | править исходный текст]

  • А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
  • А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.