Функтор Hom

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B, C определены следующие два функтора:

Hom(A,-) : CSet Hom(-,B) : CSet
Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом:
  • Hom(A,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(A, X)
  • Hom(A,-) отображает каждый морфизм f : XY в функцию
    Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y), задаваемую как
    \definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray} g \mapsto f\circ g для каждого g в Hom(A, X).
Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом:
  • Hom(-,B) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(X, B)
  • Hom(-,B) отображает каждый морфизм h : XY в функцию
    Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B), задаваемую как
    \definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray} g \mapsto g\circ h для каждого g в Hom(Y, B).

Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.

Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор

Hom(-,-) : Cop × CSet

где Cop — двойственная категория к C.

Внутренний функтор Hom[править | править вики-текст]

В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значени которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают

\text{hom}(-, -) : C^{op} \times C \to C

Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. Забывающий функтор U:C\to\textbf{Set} в таких категориях переводит внутренний функтор Hom во внешний. Точнее,

U \circ \text{hom}(-, -) \simeq \text{Hom}(-, -)

где \simeq обозначает естественный изоморфизм, естественный по обоим «аргументам». Поскольку в замкнутой категории A \cong hom(I, A) (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как

\text{Hom}(I, \text{hom}(-, -)) \simeq \text{Hom}(-, -)

В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма

\text{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \text{Hom}(X\otimes Y, Z)

где Y \Rightarrow Z  — это \text{hom}(Y, Z).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Функтор вида Hom(-, C) : CopSet является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
  • Функтор F : CSet, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором.
  • Hom(-, -) : Cop × CSet является профунктором, а именно, тождественным профунктором \text{id}_C \colon C\nrightarrow C.
  • Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, \text{hom}(X,-):C \to C переводит пределы в пределы, а \text{hom}(-,X):C^\text{op} \to C — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
  • Функтор Hom - пример точного слева функтора.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  • С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • Jacobson Nathan Basic algebra. — 2nd. — Dover. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.