Функции Бесселя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

где \alpha — произвольное комплексное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых и полуцелых порядков.

Хотя \alpha и (-\alpha) порождают одинаковые уравнения для вещественных \alpha, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по \alpha).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения[править | править вики-текст]

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
  • теплопроводность в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны
  • распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
  • волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения[править | править вики-текст]

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода[править | править вики-текст]

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J_\alpha(x), являются решения, конечные в точке x=0 при целых или неотрицательных \alpha. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых \alpha):

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Здесь \Gamma(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально \frac{1}{\sqrt{x}}, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики J_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

График функции Бесселя первого рода J

Если \alpha не является целым числом, функции J_\alpha (x) и J_{-\alpha} (x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если \alpha целое, то верно следующее соотношение:

J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя[править | править вики-текст]

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений \alpha, используя интегральное представление:

J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau

Функции Бесселя полуцелого порядка[править | править вики-текст]

Хотя в общем случае функции Бесселя не выражаются через элементарные функции, в частном случае полуцелого порядка это возможно:

J_{-\frac{1}{2}} (x) = \sqrt{ \frac{2}{\pi x} } \cos x
J_{\frac{1}{2}} (x) = \sqrt{ \frac{2}{\pi x} } \sin x

Остальные порядки могут быть получены с помощью рекуррентного соотношения:

J_{\alpha+1}(x) + J_{\alpha-1}(x) = \frac{2\alpha}{x} J_\alpha(x)

Функции Неймана (Функции Бесселя второго рода)[править | править вики-текст]

Функции Неймана — решения Y_\alpha(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x=0.

Эта функция связана с J_\alpha(x) следующим соотношением:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},

где в случае целого \alpha берётся предел по \alpha, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).

Ниже приведён график Y_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

График функции Бесселя второго рода N

Свойства[править | править вики-текст]

Асимптотика[править | править вики-текст]

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах (0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}) и неотрицательных \alpha они выглядят так:[1]

J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 
\end{matrix} \right.,

где \gamma — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а \Gamma — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (x \gg |\alpha^2 - 1/4|) формулы выглядят так:

J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

Гипергеометрический ряд[править | править вики-текст]

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).

Таким образом, при целых \alpha функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция[править | править вики-текст]

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n

Соотношения[править | править вики-текст]

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней[править | править вики-текст]

Получается выражения для производящей при a=1, t=e^{i\phi}:[2]

e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi.

При a=1, t=ie^{i\phi}:[2]

e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).

Теорема сложения[править | править вики-текст]

Для любого целого n и комплексных z_1, z_2 выполняется[3]

J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2).

Интегральные выражения[править | править вики-текст]

Для любых a и b (в том числе комплексных) выполняется[3]

\int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.

Частным случаем последней формулы является выражение

\int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Arfken, George B. and Hans J. Weber Mathematical Methods for Physicists. — 6th edition. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
  2. 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15
  3. 1 2 Лаврентьев, Шабат, 1974, с. 15

Литература[править | править вики-текст]

  • Бесселевы функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949. — Т. 1, 2.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — 2-е. — м.: Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е.