Функции Кельвина

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

$x^2\frac{d^2f}{dx^2}+x\frac{df}{dx}-(ix^2+\nu^2)f=0$

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname{ber}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(e^\frac{i\nu\pi}{2}\cdot I_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{bei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(e^\frac{i\nu\pi}{2}\cdot I_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

где $I_\nu (x)$ — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm{bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

$\mathrm{ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом:: $\operatorname{ker}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}\cdot K_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{kei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}\cdot K_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

где $K_\nu (x)$ — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm{kei}_n(x) = -\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

$\begin{align} \mathrm{ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x) \\ & {} \quad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \end{align}$

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname{her}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(H^{(1)}_\nu (x\cdot e^\frac{3i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{hei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(H^{(1)}_\nu (x\cdot e^\frac{3i\pi}{4})\right)$

где $H^{(1)}_\nu (x)$ — функция Ханкеля первого рода.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.