Функции Матьё

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение Матьё[править | править исходный текст]

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

 \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0. ,

где a и q - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения Матьё[править | править исходный текст]

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: y(x) = \exp (\mu x) \phi (x), где \phi (x) имеет период 2 \pi. При \mu = 0 эти решения являются периодическими с периодом 2 \pi и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: ce_0(x), ce_1(x), se_1(x), ce_2(x), se_2(x), .... Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: ce_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, 
ce_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, se_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx,  se_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x,, где величины A_k, B_k, C_k, D_k являются функциями от величин \alpha, \beta в уравнении Матьё. Значения A_k, B_k, C_k, D_k можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также[править | править исходный текст]

Уравнение Хилла

Литература[править | править исходный текст]

  • Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
  • Уравнение Матье, EqWorld