Функции параболического цилиндра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0.\quad (1)
График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение:

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\nu +\frac12-\frac{z^2}{4}\right)f=0,

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются ~D_\nu (z).

Функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z), D_{-\nu-1} (iz), D_{-\nu-1} (-iz) являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом ~\nu функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z) линейно независимы. Для всех ~\nu функции ~D_\nu (z), D_{-\nu-1} (\pm iz) также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом
График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из ~(1) заменой ~f(\alpha z+\beta)=e^{-z^2}y(z)

\frac{d^2y}{dz^2} -2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.\qquad (2)

Функции Эрмита обозначаются ~H_\nu(z). Общее решение уравнения ~(2):

~y(z)=c_1H_\nu(z)+c_2\Phi\left(-\frac{\nu}{2};\frac12;z^2\right),

где ~\Phi\left(\alpha;\beta;z\right)вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном ~\nu функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном ~\nu функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования[править | править исходный текст]

Рекуррентные соотношения[править | править исходный текст]

 ~D_\nu (z)= \dfrac{\Gamma(\nu+1)}{\sqrt{2 \pi}} \left( e^{\frac{1}{2}\nu \pi i} D_{-\nu - 1}(i z) + e^{-\frac{1}{2}\nu \pi i} D_{-\nu - 1}(-i z) \right)


 ~D_\nu (z)= z D_{\nu - 1}(z) - (\nu-1)D_{\nu-2}(z)


 ~H_\nu (z)=2zH_{\nu-1} (z)-2(\nu-1)H_{\nu-2} (z)


 ~H_\nu (z)=\frac{2z}{2(\nu+1)}H_{\nu+1} (z)-\frac{1}{2(\nu+1)}H_{\nu+2} (z)


 2\nu~H_{\nu-1} (z)+H_{\nu+1} (z)=2zH_\nu (z)

Формулы дифференцирования[править | править исходный текст]

\frac{d}{dz}~D_\nu (z)= - \dfrac{1}{2} z D_\nu(z) + \nu D_{\nu-1}(z)


\frac{d}{dz}~H_\nu (z)=2\nu H_\nu(z)


\frac{d}{dz}~H_\nu (z)- 2zH_\nu (z)=-H_{\nu+1} (z)


\frac{d}{dz}\Bigl[e^{-z^2}~H_\nu (z)\Bigr]=-e^{-z^2} H_{\nu+1}(z)

Интегральные представления[править | править исходный текст]

Асимптотическое поведение[править | править исходный текст]

В начале координат[править | править исходный текст]

На бесконечности[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
  • Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2
H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+k^2u=0" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]