Функциональный ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция \ {u_k}(x).

Функциональная последовательность[править | править исходный текст]

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве \ E, включённом в d-мерное евклидово пространство \ \mathbb{R}^d.

\ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N}

Поточечная сходимость[править | править исходный текст]

Функциональная последовательность \ {u_k}(x) сходится поточечно к функции \ {u}(x), если \forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x).

Равномерная сходимость[править | править исходный текст]

Существует функция \ u(x): E\mapsto\mathbb{C} такая, что: \ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E

Факт равномерной сходимости последовательности \ {u_k}(x) к функции \ u(x) записывается: \ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)

Функциональный ряд[править | править исходный текст]

\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)

\ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x) — n-ная частичная сумма.

Сходимость[править | править исходный текст]

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность \ {S_n}(x) его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность \ {S_n}(x) его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости[править | править исходный текст]

\ {u_k}(x)\rightrightarrows 0 при \ k \rightarrow \infty

Или, что эквивалентно  \lim_{k\to\infty}{u_k}(x) = 0 \; \forall x \in X , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости[править | править исходный текст]

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций \left\{ f_n \right\}_{n=1}^\infty, определённых на множестве V, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого \varepsilon>0, начиная с некоторого номера N=N(\varepsilon), при всех n, m, больше либо равных N, одновременно для всех x \in V значения функций f_n(x) и f_m(x) различались не более, чем на \varepsilon.

\forall \varepsilon > 0 \; \exists N=N(\varepsilon) \; \forall n, m \geq N \; \forall x \in V \; \left|{f_n}(x) - \ {f_m}(x)\right| < \varepsilon

Абсолютная и условная сходимость[править | править исходный текст]

Ряд \ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x) называется абсолютно сходящимся, если \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд  \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) сходится, а  \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid расходится, то ряд  \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости[править | править исходный текст]

Признак сравнения[править | править исходный текст]

Ряд \ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

  1. Ряд \ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x) сходится равномерно.
  2. \ \mid{u_k}(x)\mid < {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда \ {v_k}(x) = a_k . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле[править | править исходный текст]

Ряд \sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)} сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций \ {a_k}(x) монотонна \ \forall x\in E и \ {a_k}(x)\rightrightarrows 0
  2. Частичные суммы \ {S_n}(x)=\sum_{k=1}^{n} {u_k}(x) равномерно ограничены.

Признак Абеля[править | править исходный текст]

Ряд \sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)} сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций \ {a_k}(x) равномерно ограничена и монотонна \ \forall x\in E.
  2. Ряд \ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов[править | править исходный текст]

Теоремы о непрерывности[править | править исходный текст]

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве \ E

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность \ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)
\ \forall k: функция \ {u_k}(x) непрерывна в точке \ x_0
Тогда \ u(x) непрерывна в \ x_0.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд \ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x)
\ \forall k: функция \ {u_k}(x) непрерывна в точке \ x_0
Тогда \ S(x) непрерывна в \ x_0.

Теоремы об интегрировании[править | править исходный текст]

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

\ \forall k: функция \ {u_k}(x) интегрируема на отрезке \ [a, b]
\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x) на \ [a, b]
Тогда \ \int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} u(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]

Теорема о почленном интегрировании.

\ \forall k: функция \ {u_k}(x) непрерывна на отрезке \ [a, b]
\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x) на \ [a, b]
Тогда \ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} S(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]

Теоремы о дифференцировании[править | править исходный текст]

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

\ \forall k: функция \ {u_k}(x) непрерывно дифференцируема на отрезке \ [a, b]
\ \exist c\in [a, b]:~u_k(c) сходится
\ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x) на отрезке \ [a, b]
Тогда \ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x) — непрерывно дифференцируема на \ [a, b], \ u'(x)=\omega(x) на \ [a, b]

Теорема о почленном дифференцировании.

\ \forall k: функция \ {u_k}(x) непрерывно дифференцируема на отрезке \ [a, b]
\ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c) сходится
\ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x) равномерно сходится на отрезке \ [a, b]
Тогда \ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x) — непрерывно дифференцируема на \ [a, b], \ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x) на \ [a, b]

Ссылки[править | править исходный текст]