Функционал Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Определение[править | править вики-текст]

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества K функционал Минковского \ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty) определяется как:

\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\} .

Предполагается, что 0 \in K и множество \{r>0 \mid x \in rK\} непусто. При дополнительных условиях на K функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

Свойства[править | править вики-текст]

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств K, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в X и X^*, так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть X — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества K \subseteq X сопряжённое множество K^* \subseteq X^* вводится как множество, опорная функция s(p,K^*) которого на векторах p \in X совпадает с p_K:

\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p).

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного K выполнено:

\ K^{* *} = K

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство X^{**} содержит элементы, не лежащие в X. Можно доопределить опорную функцию на K^*, положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении X \hookrightarrow X^{**} образ K совпадает с K^{**} (при выпуклости и сбалансированности).

См. также[править | править вики-текст]

Другие проявления двойственности Минковского:

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.