Функционал Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Определение[править | править вики-текст]

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества K определим функционал Минковского

\ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty)

как

\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}.

Предполагается, что 0 ∈ K и множество {r > 0: xr K} непусто. При дополнительных условиях на K функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

Свойства[править | править вики-текст]

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств K, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в X и X*, так как обладает свойствами опорной функции в сопряженном пространстве. Пусть X - конечномерное евклидово пространство. Для любого множества K из X определим сопряженное множество K* из X* как множество, опорная функция s(p,K*) которого на векторах p из X совпадает с pK:

\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p)

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного K

\ K^{* *} = K

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство X** содержит элементы, не лежащие в X. Можно доопределить опорную функцию на K*, положив ее для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении X в X** образ K совпадает с K** (при выпуклости и сбалансированности).

Ссылки[править | править вики-текст]

Другие проявления двойственности Минковского:

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.