Функция Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:

w(x)= \sum_{n=0} ^\infty b^n \cos(a^n \pi x),

где a — произвольное нечетное число, не равное единице, а b — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

\sum_{n=0} ^\infty b^n ,

поэтому функция w определена и непрерывна при всех вещественных x. Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при

ab>\frac{3}{2}\pi +1.

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке x_0, строят две последовательности \{x_m\} и \{ y_m\}, сходящиеся к точке x_0, и доказывают, что отношения

\frac{w(x_m)-w(x_0)}{x_m-x_0} и \frac{w(y_m)-w(x_0)}{y_m-x_0}

имеют разные знаки по крайней мере при

ab>\frac{3}{2}\pi +1 и a>1.

Для построения указанных последовательностей предварительно определяют такие целые числа \gamma_m, чтобы выполнялось

a^m x_0 \in \left[\gamma_m - \frac 1 2, \gamma_m + \frac 1 2 \right),

а затем полагают

x_m=\frac{\gamma_m-1}{a^m} и y_m=\frac{\gamma_m+1}{a^m}.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

ab\geq 1 и a>1

было установлено Харди.[1]

Историческая справка[править | править вики-текст]

В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималось за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[en][3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию

r(x)=\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2};

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Несмотря на это, в 1870 году Дж. Джевер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию w и представил строгое доказательство её недифференцируемости.[4] В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона[5]. Ещё более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

v(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\{10^n x\}}{10^n},

где фигурные скобки означают взятие дробной части.[6]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Trans — Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301—325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  5. Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своем контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  6. Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.

Литература[править | править вики-текст]

  • Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  • Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
  • Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.