Функция Кобба — Дугласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — зависимость объёма производства Q от создающих его факторов производства — затрат труда L и капитала K.

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (англ. Charles Cobb) и Полом Дугласом (англ. Paul Douglas) в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

Q = A \times L^{\alpha} \times K^{\beta}

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства

Q \sim L^{0.73} \times K^{0.27} \,

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES функция):  Q = A[ \alpha L^{-\rho} + \beta K^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}} , для которой в пределе при \rho \rightarrow 0 получаем  Q = A \times L^{\alpha} \times K^{\beta}.

Разногласия[править | править вики-текст]

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента \lambda в разных секторах экономики.

Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

Q_{1}=A\times L_{1}^{\lambda}\times K_{1}^{1-\lambda}
Q_{2}=A\times L_{2}^{\lambda}\times K_{2}^{1-\lambda}

Как видно в сумме мы не получим:

Q_{1} + Q_{2}=A\times (L_{1}+L_{2})^{\lambda}\times (K_{1}+K_{2})^{1-\lambda}

Равенство возможно лишь если:

\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{K_{1}}{K_{2}}