Функция Кёнигса

Фу́нкция Кё́нигса связана с решением функционального уравнения

$\textstyle F[f(x)] = cF(x),$

где $\textstyle F(x)$ — неизвестная функция, $\textstyle f(x)$ и $\textstyle c$ — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера (англ.).

Пусть $\textstyle f(x)$ — аналитическая функция, и пусть $\textstyle f(\alpha) = \alpha$, где $\alpha \ne \infty$, причем

$\left|\frac{df(\alpha)}{dx}\right| < 1$.

Это значит, что $\textstyle \alpha$ является притягивающей неподвижной точкой функции $\textstyle f(x)$. Пусть $\textstyle f^k(x)$ есть $\textstyle k$-я итерация функции $\textstyle f(x)$:

$f^0(x) = x, ~~ f^1(x) = f(x), ~~ f^k(x) = f(f^{k-1}(x))~$ при $~k = 1,2,3,\ldots$

Для всякого $\textstyle x$, принадлежащего некоторой окрестности точки $\textstyle \alpha$, последовательность итераций ${f^k(x)} ~ (k = 0,1,2,\ldots)$ сходится к $\textstyle \alpha$.

Предположив также, что

$\frac{df(\alpha)}{dx} = c \ne 0,$

можно показать, что в окрестности точки $\textstyle \alpha$ существует предел

$K_f(x) = \lim_{k\to\infty} \frac{f^k(x)-\alpha}{[\frac{df(\alpha)}{dx}]^k} ~ ,$

который является в этой окрестности аналитической функцией переменной $\textstyle x$ и обладает свойствами

$K_f(\alpha) = 0, ~~ \frac{dK_f(\alpha)}{dx} = 1.$

Функция $\textstyle K_f(x)$ есть функция Кёнигса. Ее ввел в 1884 Г. Кёнигс (франц.) при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки $\textstyle x = \alpha$ решение уравнения Шрёдера, в котором $\textstyle 0 < |c| < 1$, отличается от $\textstyle K_f(x)$ только постоянным множителем.

Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Г. Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если

$\textstyle f(x) = \sqrt{x}$ и $\textstyle c = \frac{1}{2}$, то решением соответствующего уравнения Шрёдера

$\textstyle F[\sqrt{x}] = \frac{1}{2}F(x)$,

является $\textstyle F(x) = \log_px$ для любого $\textstyle p > 0$, так что $\textstyle F(x) = A\log_{10}x$, где $\textstyle A = \log_p{10}$ — произвольная константа. Метод вычисления функции $\textstyle \log_{10}x$ у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».

Литература

• Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1.
• Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957.
• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86. // http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=667&what=fullt&option_lang=rus.