Функция Ляпунова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая может быть использована как доказательство устойчивости равновесия уравнения. Названа в честь русского математика Александра Ляпунова . Функции Ляпунова имеют важное значение для теории устойчивости и теории управления . Аналогичная концепция появляется в общей теории пространства состояний цепей Маркова, как правило, под названием функция Ляпунова-Фостера.

Для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием для стабильности. Хотя нет общей методики построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений, во многих конкретных случаях, конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичной функции достаточно для систем с одной переменной, решение определенного линейного матричного неравенства обеспечивает функцию Ляпунова для линейных систем. Законы сохранения могут быть использованы для построения функций Ляпунова для физической системы.

Неформально, функция Ляпунова - это функция, которая принимает положительные значения всюду, за исключением точки равновесия, и уменьшается (или не растет) вдоль каждой траектории обыкновенного дифференциального уравнения. Основное преимущество метода анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова заключается в том, что решение системы уравнений (аналитическое или численное) не нужно.

Определение кандидата функции Ляпунова[править | править вики-текст]

Пусть

V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

Непрерывная скалярная функция V называется кандидатом функции Ляпунова если локально является положительно определённой функцией , т.е.

V(0) = 0 \,
V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}

где U окрестность x = 0

Точка равновесия[править | править вики-текст]

Пусть

g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\dot{y} = g(y) \,

будет произвольной автономной динамической системой с точкой равновесия y^* \,:

0 = g(y^*) \,

Всегда существует преобразование координат x = y - y^* \,, такое что:

\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,
 f(0) = 0 \,

Тогда новая система f(x) имеет точку равновесия в начале координат.

Теоремы Ляпунова для автономных систем[править | править вики-текст]

Пусть

x^* = 0 \,

является точкой равновесия системы автономных дифференциальных уравнений

\dot{x} = f(x) \,

И пусть

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова V.

Устойчивость точки равновесия[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:

\dot{V}(x) \leq 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является устойчивой.

Локальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является локально асимптотически устойчивой .

Глобальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

тогда точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

Кандидат-функция Ляпунова V(x) является радиально неограниченной если

\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty .

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на \mathbb{R}:

\dot x = -x.

Принимая во внимание функция | x | есть всегда неотрицательна в окрестности начала координат, то она будет естественным выбором кандидат-функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть V(x)=|x| на \mathbb{R}\setminus\{0\}. Тогда,

\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0.

Это показывает что точка равновесия дифференциального уравнение является асимптотически стабильной в окрестности начала координат.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Khalil, H.K. Nonlinear systems. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.