Функция Розенброка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (0,0).

Функция Розенброка (англ. Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Ховардом Розенброком (англ.) в 1960 году[1]. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1)[2].

Каноническое определение[править | править вики-текст]

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки (x, y)=(0, 0).

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

f(x, y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 .\quad

Она имеет глобальный минимум в точке (x, y)=(1, 1) где f(x, y)=0.

Многомерное обобщение[править | править вики-текст]

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма N/2 несвязанных двумерных функций Розенброка:

f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N/2} \left[100(x_{2i-1}^2 - x_{2i})^2 + (x_{2i-1} - 1)^2 \right].[3]

Более сложным вариантом является:

f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{N-1} \left[  (1-x_i)^2+ 100 (x_{i+1} - x_i^2 )^2 \right] \quad \forall  x\in\mathbb{R}^N.[4]

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное англ. Xin-She Yang[5]:

 f(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{n-1} \Big[(1-x_i)^2+100 \epsilon_i (x_{i+1}-x_i^2)^2 \Big],

где случайные переменные \epsilon_i (i=1,2,...,n-1) являются непрерывно распределёнными Unif(0,1).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rosenbrock, H.H. (1960). «An automatic method for finding the greatest or least value of a function». The Computer Journal 3: 175–184. DOI:10.1093/comjnl/3.3.175. ISSN 0010-4620.
  2. Жилинискас А., Шатлянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 14, ISBN 5-02-006737-7
  3. L C W Dixon, D J Mills. Effect of Rounding errors on the Variable Metric Method. Journal of Optimization Theory and Applications 80, 1994. [1]
  4. Generalized Rosenbrock's function. Проверено 16 сентября 2008. Архивировано из первоисточника 3 сентября 2012.
  5. Yang X.-S. and Deb S., Engineering optimization by cuckoo search, Int. J. Math. Modelling Num. Optimisation, Vol. 1, No. 4, 330—343 (2010).

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]