Функция Хевисайда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1.

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например[1]

\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0;
\\ \dfrac{1}{2}, & x=0;
\\ 1, & x>0.\end{cases}

Другое распространённое определение:

\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0;
\\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases}

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, \theta'=\delta, это также можно записать как:

\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt.

Дискретная форма[править | править вики-текст]

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента n:

\theta[n]=\begin{cases}0, & n<0; \\ 1, & n\geqslant 0,\end{cases}

где n — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Аналитические формы[править | править вики-текст]

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

\theta(x)\approx\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{th}\,kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},

где большему k соответствует более крутой подъём функции в точке x=0. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда \Delta{x}, значение k можно оценить как k\approx\frac{10}{\Delta{x}}.

Если принять \theta(0)=1/2, уравнение можно записать в предельной форме:

\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}(1+\mathrm{th}\,kx)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg}\,kx\right);
\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\,kx\right).

Запись[править | править вики-текст]

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

\theta(x)=-\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau.

θ(0)[править | править вики-текст]

Значение функции в нуле часто задаётся как \theta(0)=0, \theta(0)=1/2 или \theta(0)=1. \theta(0)=1/2 — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

\theta(x)=\frac{1}{2}(1+\sgn x)=\begin{cases} 0, & x<0;
\\ \dfrac{1}{2}, & x=0;
\\ 1, & x>0.\end{cases}

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

\theta_n(x)=\begin{cases}0, & x<0;
\\ n, & x=0;
\\ 1, & x>0.\end{cases}

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\delta(t)\,dt.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции ~\theta(t), получим её изображение вида:

\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),

то есть:

\theta(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right)e^{i\omega t}\,d\omega

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как \scriptstyle{\eta(x)}. В англоязычной литературе часто обозначают \scriptstyle{H(x)} или \scriptstyle{1(x)}. См., например,
    • Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с. — (Математика в техническом университете; Вып. XI). — ISBN 5-7038-1273-9.;
    • Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1).