Функция Эйри

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функций Ai(x) (красный) и Bi(x) (синий).

Функция Эйри \operatorname{Ai}\,(x) — специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделя Эйри. Функции \operatorname{Ai}\,(x) и связанная с ней \operatorname{Bi}\,(x), называемая также функцией Эйри, являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

y'' - xy = 0,

называемого уравнением Эйри. Это простейшее дифференциальное уравнение, имеющее точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Функция Эйри описывает вид звезды (точечного источника света) в телескопе. Идеальная точка превращается в набор концентрических окружностей, в силу ограниченной апертуры и волновой природы света (Suiter 1994). Она также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение[править | править вики-текст]

Для вещественных x функция Эйри определяется интегралом

\operatorname{Ai}\,(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty\!\cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt,

взятом в несобственном смысле. Легко проверить, что он действительно сходится.

Airy function.png

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

y'' - xy = 0 .

У этого уравнения есть два линейно независимых решения. Вторым решением обычно берут функцию Эйри второго рода, обозначаемую \operatorname{Bi}\,(x). Она определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и \operatorname{Ai}\,(x), при стремлении x \to \infty, и отличающееся по фазе на \pi/2.

Для комплексных чисел функция Эйри определяется следующим образом:

\operatorname{Ai}\,(z) = \int\limits_{\gamma_k}\!\exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right)\,dp,

где контур  \gamma_k может быть одним из представленных на рисунке. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Свойства[править | править вики-текст]

В точке x=0 функции \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) и их производные имеют значения

\begin{align}
 \operatorname{Ai}\,(0) &{}= \frac{1}{3^{2/3}\Gamma\left(\frac23\right)}, & \quad \operatorname{Ai}'\,(0) &{}= -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma\left(\frac13\right)}, \\
 \operatorname{Bi}\,(0) &{}= \frac{1}{3^{1/6}\Gamma\left(\frac23\right)}, & \quad \operatorname{Bi}'\,(0) &{}= \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)}.
\end{align}

где \Gamma — гамма-функция. Отсюда следует, что вронскиан функций \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) равен 1/\pi.

При положительных x \operatorname{Ai}\,(x) — положительная, выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а \operatorname{Bi}\,(x) — положительная, выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных x \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения[править | править вики-текст]

При x стремящемся к +∞:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}
\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. 
\end{align}

Комплексный аргумент[править | править вики-текст]

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,

где интеграл берется по контуру C, начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом -π/3 и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом π/3. Можно пойти с другой стороны, использую дифференциальное уравнение y'' - xy = 0 для продолжения Ai(x) и Bi(x) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai(x) остается в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение x2/3 и x не лежит на отрицательной вещественной полуоси. Формула для Bi(x) верна, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (1/3)π−δ} для некоторого положительного δ. Формулы для Ai(−x) и Bi(−x) верны, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции Ai(x) на комплексной плоскоти нет других нулей, а функция Bi(x) имеет бесконечно много нулей в секторе {zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Связь с другими специальными функциями[править | править вики-текст]

Для положительных аргументов, функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right).
\end{align}

где I±1/3 и K1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0.

Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align}

где J±1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0.

Функции Скорера являются решениями уравнения y'' - xy = 1/\pi. Они также могут быть выражены через функции Эйри:

\begin{align}
 \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int\limits_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int\limits_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\
 \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align}

История[править | править вики-текст]

Функция Эйри названа в честь британского астронома Джорджа Бидделля Эйри, который столкнулся с ней в исследованиях по оптике (1838 г.). Обозначение Ai(x) было введено Гарольдом Джеффри.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения, 749
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (См. § 10.4).
  • Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379—402.
  • Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.