Функция делителей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция делителей от σ0(n) до n = 250
Сигма-функция от σ1(n) до n = 250
Сумма квадратов делителей, от σ2(n), до n = 250

Функция делителей — арифметическая функция, связанная с делителями целого числа. Функция известна также под именем функция дивизоров. Применяется, в частности, при исследовании связи дзета-функции Римана и рядов Эйзенштейна для модулярных форм. Изучалась Рамануджаном, который вывел ряд важных равенств в модульной арифметике и арифметических тождеств.

С этой функцией тесно связана суммирующая функция делителей, которая, как следует из названия, является суммой функции делителей.

Определение[править | править вики-текст]

Функция сумма положительных делителей σx(n) для вещественного или комплексного числа x определяется как сумма xстепеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой

\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! ,

где {d|n} означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ0(n), или функции числа делителей [1][2]. Если x равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей, [3] и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ1(n)[4].

Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть, делители за исключением самого n[5], и равна σ1(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения..

Примеры[править | править вики-текст]

Например, σ0(12) — количество делителей числа 12:


\begin{align}
\sigma_{0}(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\
& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,
\end{align}

в то время как σ1(12) — сумма всех делителей:


\begin{align}
\sigma_{1}(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,
\end{align}

и аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:


\begin{align}
s(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 \\
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
\end{align}

Таблица значений[править | править вики-текст]

n Делители σ0(n) σ1(n) s(n) = σ1(n) − n Комментарии
1 1 1 1 0 квадрат: значение σ0(n) нечетно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
2 1,2 2 3 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
3 1,3 2 4 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
4 1,2,4 3 7 3 квадрат: σ0(n) нечетно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
5 1,5 2 6 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
6 1,2,3,6 4 12 6 первое [совершенное число]]: s(n) = n
7 1,7 2 8 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
8 1,2,4,8 4 15 7 степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
9 1,3,9 3 13 4 квадрат: σ0(n) нечетно
10 1,2,5,10 4 18 8
11 1,11 2 12 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
12 1,2,3,4,6,12 6 28 16 первое избыточное число: s(n) > n
13 1,13 2 14 1 простое: σ1(n) = 1+n, так что s(n) =1
14 1,2,7,14 4 24 10
15 1,3,5,15 4 24 9
16 1,2,4,8,16 5 31 15 квадрат: σ0(n) нечетно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)

Случаи x = 2, x = 3 и так далее входят в последовательности A001157, A001158, A001159, A001160, A013954, A013955

Свойства[править | править вики-текст]

Для целых, не являющихся квадратами, каждый делитель d числа n имеет парный делитель n/d, а значит, \sigma_{0}(n) всегда четно для таких чисел. Для квадратов один делитель, а именно \sqrt n, не имеет пары, так что для них \sigma_{0}(n) всегда нечетно.

Для простого числа p,


\begin{align}
\sigma_0(p) & = 2 \\ 
\sigma_0(p^n) & = n+1 \\
\sigma_1(p) & = p+1
\end{align}

поскольку, по определению, простое число делится только на единицу и самого себя. Если pn# означает праймориал то,

 \sigma_0(p_n\#) = 2^n \,


Ясно, что 1 < \sigma_0(n) < n и \sigma(n) > n для всех n > 2.

Функция делителей мультипликативна, но не вполне мультипликативна.

Если мы запишем

n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}

где r = ω(n) — число простых делителей числа n, pi — i-й простой делитель, а ai — максимальная степень pi, на которую делится n, то

\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}

что эквивалентно:


\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = 
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x}).

Если положить x = 0, получим, что d(n) равно:

\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).

Например, число n = 24 имеет два простых множителя — p1 = 2 и p2 = 3. Поскольку 24 — это произведение 23×31, то a1 = 3 и a2 = 1.

Теперь мы можем вычислить \sigma_0(24):


\begin{align}
\sigma_0(24) & = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) \\
& = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8.
\end{align}

Восемь делителей числа 24 — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, и 24.

Заметим также, что s(n) = σ(n) − n. Здесь s(n) обозначает сумму собственных делителей числа n, то есть делителей, за исключением самого числа n. Эта функция используется для определения совершенности числа — для них s(n) = n. Если s(n) > n, n называется избыточным, а если s(n) < n, n называется недостаточным.

Если n — степень двойки, то есть n = 2^k, то \sigma(n) = 2 \times 2^k - 1 = 2n - 1, and s(n) = n — 1, что делает n почти совершенным.

Как пример, для двух простых p и q (где p < q), пусть

n = pq. \,

Тогда

\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q), \,
\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q), \,

и

n + 1 = (\sigma(n) + \phi(n))/2, \,
p + q = (\sigma(n) - \phi(n))/2, \,

где φ(n) — это функция Эйлера.

Тогда корни p и q уравнения:

(x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + n = x^2 - [(\sigma(n) - \phi(n))/2]x + [(\sigma(n) + \phi(n))/2 - 1] = 0 \,

можно выразить через σ(n) и φ(n) :

p = (\sigma(n) - \phi(n))/4 - \sqrt{[(\sigma(n) - \phi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \phi(n))/2 - 1]}, \,
q = (\sigma(n) - \phi(n))/4 + \sqrt{[(\sigma(n) - \phi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \phi(n))/2 - 1]}. \,

Зная n и либо σ(n), либо φ(n) (или зная p+q и либо σ(n), либо φ(n)) мы легко можем найти p и q.

В 1984 году Хиз-Браун (Roger Heath-Brown) доказал, что

\sigma_0(n) = \sigma_0(n + 1)

встречается бесконечно много раз.

Связь с рядами[править | править вики-текст]

Два ряда Дирихле, использующие функцию делителей:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a),

и при обозначении d(n) = σ0(n) получим

\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s),

и второй ряд,

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.

Ряд Ламбера, использующий функцию делителей:

\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}

для любого комплексного |q| ≤ 1 и a.

Эта сумма появляется также в рядах Фурье для рядов Эйзенштейна и в инвариантах эллиптических функций Вейерштрасса.

Асимптотическая скорость роста[править | править вики-текст]

В терминах о-малое, функция делителей удовлетворяет неравенству (см. стр. 296 книги Апостола[6])

для всех \epsilon>0,\quad d(n)=o(n^\epsilon).

Северин Вигерт дал более точную оценку

\limsup_{n\to\infty}\frac{\log d(n)}{\log n/\log\log n}=\log2.

С другой стороны, ввиду бесконечности числа простых чисел,

\liminf_{n\to\infty} d(n)=2.

В терминах О-большое, Дирихле показал, что средний порядок функции делителей удовлетворяет следующему неравенству (см. теорему 3.3 книги Апостола/>)

для всех x\geq1, \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}),

где \gamma — постоянная Эйлера — Маскерони.

Задача улучшить границу O(\sqrt{x}) в этой формуле — это проблема Дирихле о делителях

Поведение сигма функции неравномерно. Асимптотическая скорость роста сигма функции можно выразить формулой:


\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\,\log \log n}=e^\gamma,

где lim sup — верхний предел. Этот результат является теоремой Грёнвалла (Grönwall), опубликованной в 1913 году[7] Его доказательство использует третью теорему Мертенса, которая утверждает, что

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}\prod_{p\le n}\frac{p}{p-1}=e^{\gamma},

где p — простое.

В 1915 году Рамануджан доказал, что при выполнении гипотезы Римана, неравенство

\ \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n (неравенство Робина)

выполняется для всех достаточно больших n[8]. В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n ≥ 5041 в том и только в том случае, если гипотеза Римана верна[9]. Это теорема Робина и неравенство стало широко известно после доказательства теоремы. Наибольшее известное число, нарушающее неравенство — это n=5040. Если гипотеза Римана верна, то нет чисел, больших этого и нарушающих неравенство. Робин показал, что в случае ошибочности гипотезы существует бесконечно много чисел n, нарушающих неравенство, и известно, что наименьшее из таких чисел n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом[10]. Было показано, что неравенство выполняется для больших нечетных свободных от квадратов чисел, и что гипотеза Римана эквивалентна выполнению неравенства для всех чисел n, делящихся на пятую степень простого числа[11]

Джефри Лагариас (Jeffrey Lagarias) в 2002 году доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

для любого натурального n, где H_n — n-ое гармоническое число[12]

Робин доказал, что неравенство

\ \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n + \frac{0.6483\ n}{\log \log n}

выполняется для n ≥ 3 без каких-либо дополнительных условий.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950 стр 46
  2. последовательность A000005 в OEIS
  3. Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , стр 58
  4. последовательность A000203 в OEIS
  5. последовательность A001065 в OEIS
  6. "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  7. Grönwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113—122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
  8. Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119—153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
  9. Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187—213, ISSN 0021-7824, MR 774171
  10. Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
  11. YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, issue 2, pages=357-372
  12. Lagarias, Jeffrey C. (2002), «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534—543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

Ссылки[править | править вики-текст]