Функция (математика)

Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

График функции
$\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной $x$ однозначно определяет значение выражения $x^2$, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Определения

Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся её интуитивное описание; то есть понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие».

Интуитивное описание

Функция $f$ (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

При этом говорят, что функция $f$ задана на множестве $X$, или что $f$ отображает $X$ в $Y$.

Если элементу $x\in X$ сопоставлен элемент $y\in Y$, то говорят, что элемент $y$ находится в функциональной зависимости $f$ от элемента $x$. При этом переменная $x$ называется аргументом функции $f$ или независимой переменной, множество $X$ называется областью задания или областью определения функции, а элемент $y$, соответствующий конкретному элементу $x$ — частным значением функции $f$ в точке $x$. Множество $Y$ всех возможных частных значений функции $f$ называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию $f$ удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар $(x,y)\in X\times Y$), которое удовлетворяет следующему условию: для любого $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $(x,y)\in f$.

Это и позволяет говорить о том, что элементу $x\in X$ сопоставлен один и только один элемент $y\in Y$ такой, что $(x,y)\in f$.

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов $(f,X,Y)$, где

• множество $X$ называется о́бластью определе́ния;
• множество $Y$ называется о́бластью значе́ний;
• множество упорядоченных пар $f\subseteq X\times Y$ или, что то же самое, график функции.

Обозначения

Если задана функция $f$, которая определена на множестве $X$ и принимает значения в множестве $Y$, то есть, функция $f$ отображает множество $X$ в $Y$, то

• этот факт коротко записывают в виде $f \colon X \to Y$ или $X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y$.
• область определения функции $f$ (множество $X$) обозначается $D(f)$, или $\mathrm{dom}\,f$;
• область значений функции $f$ (множество $Y$) обозначается $R(f)$ ($E(f)$), или $\mathrm{cod}\,f$ ($\mathrm{ran}\,f$).

Наличие функциональной зависимости между элементом $x\in X$ и элементом $y\in Y$

• наиболее часто обозначается как

  $y=f(x)$,

  $f\colon x\mapsto y$ или

  $x\mapsto y$;

• реже используется обозначение без скобок $y=fx$, $y=f\circ x$ или $y=xf$,
• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: $y=(f,x)$ или $y=(x,f)$;
• так же существует и операторное обозначение $y=x^f$, которое можно встретить в общей алгебре.
• $\lambda x.y$ в лямбда-исчислении Чёрча.

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество $X$ представляет собой декартово произведение множеств $X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n$, тогда отображение $f\colon X\to Y$ оказывается $n$-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора $x=\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\right\}$ называются аргументами (данной $n$-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

$x_i\in X_i$ где $i=\overline{1,n}$.

В этом случае $y=f(x)$ означает, что $y=f\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\right\}$.

Способы задания функции

Аналитический способ

Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: $f=\{(a,d),(b,e),(c,f)\} \;$ есть функция $f\colon \{a,b,c\} \to \{d,e,f\} \;$. Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: $y=f(x) \;$. При этом, $x$ есть переменная, пробегающая область определения функции, а $y$ — область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество $X = \{ \;$яблоко, самолет, груша, стул$\}\;$ и множество $Y = \{ \;$человек, паровоз, квадрат$\}\;$. Зададим функцию f следующим образом: $f = \{ \;$(яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек)$\}\;$. Если ввести переменную x, пробегающую множество $X \;$ и переменную y, пробегающую множество $Y \;$, указанную функцию можно задать аналитически, как: $y=f(x) \;$.

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: $y = x^2 \;$, где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение $y = x^2 \;$ не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть $z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \;$ — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ($\vec e_z, \vec e_1, \vec e_2, \ldots , \vec e_n \;$). Каждой точке функции сопоставим вектор: $z \vec e_z + x_1 \vec e_1 + x_2 \vec e_2 + \ldots + x_n \vec e_n \;$. Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение $f\colon X\to Y$ и $M\subset X$.

Отображение $g\colon M\to Y$, которое принимает на $M$ те же значения, что и функция $f$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции $f$ на множество $M$.

Сужение функции $f$ на множество $M$ обозначается как $f\big|_M$.

Если функция $g\colon M\to Y$ такова, что она является сужением для некоторой функции $f\colon X\to Y$, то функция $f$, в свою очередь, называется продолжением функции $g$ на множество $X$.

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент $y=f(x)$, который сопоставлен элементу $x$, называется образом элемента (точки) $x$ (при отображении $f$).

Если взять целое подмножество $A$ области определения функции $f$, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества $A$, а именно подмножество области значений (функции $f$) вида

$f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}$,

которое, называется образом множества $A$ (при отображении $f$). Это множество иногда обозначается как $f[A]$ или $A^f$.

Наоборот, взяв некоторое подмножество $B$ области значений функции $f$, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции $f$), чьи образы попадают в множество $B$, а именно — множество вида

$f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}$,

которое называется (полным) прообразом множества $B$ (при отображении $f$).

В том частном случае, когда множество $B$ состоит из одного элемента, скажем, $B=\{y\}$, множество $f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}$ имеет более простое обозначение $f^{-1}(y)$.

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование $f\colon X\to X$, которое сопоставляет каждой точке $x$ множества $X$ её саму или, что тоже самое,

$f(x)=x$ для каждого $x\in X$,

называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: $id_X$ или, проще, $id$ (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — $1_X$. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве $X$. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого $x\in X$ однозначно определяется элемент $y\in Y$ такой, что $y=f(x)$, но для этого самого $y$ однозначно определяется элемент $z\in Z$ такой, что $z=g(y)$. То есть, для всякого $x\in X$ однозначно определяется элемент $z\in Z$ такой, что $z=g(f(x))$. Другими словами, определено отображение $h$ такое, что

$h(x)=g(f(x))$ для всякого $x\in X$.

Это отображение называется композицией отображений $f$ и $g$ и обозначается

• либо $f\cdot g$ или $f\cdot g$,
• либо $g\circ f$ (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Обратное отображение

Если отображение $f\colon X\to Y$ является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение $f^{-1}\colon Y\to X$, у которого

• область определения (множество $Y$) совпадает с областью значений отображения $f$ ;
• область значений (множество $X$) совпадает с областью определения отображения $f$;
• $x=f^{-1}(y)$ тогда и только тогда, когда $y=f(x)$.

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению $f$.

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: $f^{-1}\circ f=id_X$ и $f\circ f^{-1}=id_Y$.

Свойства

Пусть задана функция $f\colon X\to Y$, где $X$ и $Y$ — данные множества, причём $X=dom f$. Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.

Образ и прообраз при отображении

Взятие образа

Положим, $A$ и $B$ — подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора $f$) обладает следующими свойствами:

• $f(\varnothing)=\varnothing$;
• $A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing$;
• $A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)$.

Далее

• образ объединения равен объединению образов: $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$;
• образ пересечения является подмножеством пересечения образов $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$.

Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

Взятие прообраза

Положим, $A$ и $B$ — подмножества множества $Y$.

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

• прообраз объединения равен объединению прообразов: $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$;
• прообраз пересечения равен пересечению прообразов $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.

Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

• образ пересечения равен пересечению образов: $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.

Поведение функций

Сюръективность

Функция $f$ называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция $f$ сюръективна, если образ множества $X$ при отображении совпадает с множеством $Y$: $f[X]=Y$.

Такое отображение называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

Инъективность

Функция $f$ называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества $X$ сопоставлены разные элементы множества $Y$. Более формально, функция $f$ инъективна, если для любых двух элементов $x_1, x_2\in X$ таких, что $f(x_1)=f(x_2)$, непременно выполняется $x_1=x_2$.

Другими словами, сюръекция — это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция — это когда «разные — в разные». То есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов $X$ отображались в один и тот же элемент $Y$. А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент $Y$ не имел прообраза.

Биективность

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание

Пусть дана функция $f\colon M \subset \R \to \R.$ Тогда

• функция $f$ называется возраста́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);$

• функция $f$ называется стро́го возраста́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);$

• функция $f$ называется убыва́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);$

• функция $f$ называется стро́го убыва́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).$

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Периодичность

Функция $f\colon M \to N$ называется периодической с пери́одом $T \not= 0$ , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$.

Если это равенство не выполнено ни для какого $T \in M,\, T \not=0$ , то функция $f$ называется апериоди́ческой.

Чётность

• Функция $f\colon X \to \mathbb{R}$ называется нечётной, если справедливо равенство

$f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.$

• Функция $f$ называется чётной, если справедливо равенство

$f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.$

Экстремумы функции

Пусть дана функция $f\colon M \subset \R \to \R,$ и $x_0 \in M^0$ — внутренняя точка области определения $f.$ Тогда

• $x_0$ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);$

• $x_0$ называется точкой абсолютного минимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).$

Примеры

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области — это:

• абстрактные множества — множества, без какой-либо дополнительной структуры;
• множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

• конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
• счётные множества — множества эквивалентные множеству натуральных чисел;
• множества мощности континуума (например, отрезок действительной прямой или сама действительная прямая).

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

• конечные функции — отображения конечных множеств;
• последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
• континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

• структура порядка — частичный или линейный порядок.
• алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле.
• структура метрического пространства — здесь задаётся функция расстояния;
• структура евклидового пространства — здесь задаётся скалярное произведение;
• структура топологического пространства — здесь задаётся совокупность т. н. «открытых множеств»;
• структура измеримого пространства — здесь задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области определения)

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности, требует задания топологической структуры.

Вариации и обобщения

Частично определённые функции

Частично определённая функция $f$ из множества $X$ в множество $Y$ есть функция $f\colon X'\to Y$ с областью определения $X'\subset X$.

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например возможна запись $f\colon \R\to\R$, где $f(x)=1/x$ в этом случае $\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}$.

Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про т. н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть $f\colon X\to \mathbb{B}$, где $\mathbb{B}$ — семейство подмножеств множества $Y$. Тогда $f(x)$ будет множеством для всякого $x\in X$.

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции.

См. также

• Функциональное уравнение
• Алгоритм
• Уравнение
• Булева функция
• Список математических функций

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.