Функция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции
\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x^2, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

История[править | править вики-текст]

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному[1].

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[2].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Определения[править | править вики-текст]

Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся её интуитивное описание; то есть понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие».

Интуитивное описание[править | править вики-текст]

Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому[3] элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y[4].

При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

Если элементу x\in X сопоставлен элемент y\in Y, то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение[править | править вики-текст]

Функция f\colon X\to Y есть множество упорядоченных пар (x,y)\in X\times Y), которое удовлетворяет следующему условию: для любого[3] x\in X существует единственный элемент y\in Y такой, что (x,y)\in f.

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

  • множество X называется о́бластью определе́ния;
  • множество Y называется о́бластью значе́ний;
  • множество упорядоченных пар f\subseteq X\times Y или, что то же самое, график функции.

Обозначения[править | править вики-текст]

Если задана функция f, которая определена на множестве X и принимает значения в множестве Y, то есть, функция f отображает множество X в Y, то

  • этот факт коротко записывают в виде f \colon X \to Y или X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y.
  • область определения функции f (множество X) обозначается D(f), или \mathrm{dom}\,f;
  • область значений функции f (множество Y) обозначается R(f) (E(f)), или \mathrm{cod}\,f (\mathrm{ran}\,f).
  • Наличие функциональной зависимости между элементом x\in X и элементом y\in Y наиболее часто обозначается как
    y=f(x),
    f\colon x\mapsto y или
    x\mapsto y;
  • реже используется обозначение без скобок y=fx, y=f\circ x или y=xf,
  • а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y=(f,x) или y=(x,f);
  • также существует и операторное обозначение y=x^f, которое можно встретить в общей алгебре.
  • \lambda x.y в лямбда-исчислении Чёрча.

Функции нескольких аргументов[править | править вики-текст]

График функции двух переменных: f(x, y) = \sin(x - \sin(2 y))

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество X представляет собой декартово произведение множеств X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n, тогда отображение f\colon X\to Y оказывается n-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора x=\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\right\} называются аргументами (данной n-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

x_i\in X_i где i=\overline{1,n}.

В этом случае y=f(x) означает, что y=f\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\right\}.

Способы задания функции[править | править вики-текст]

Аналитический способ[править | править вики-текст]

Функция как математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: f=\{(a,d),(b,e),(c,f)\} \; есть функция f\colon \{a,b,c\} \to \{d,e,f\} \;. Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: y=f(x) \;. При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y — область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество X = \{ \;яблоко, самолет, груша, стул\}\; и множество Y = \{ \;человек, паровоз, квадрат\}\;. Зададим функцию f следующим образом: f = \{ \;(яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек)\}\;. Если ввести переменную x, пробегающую множество X \; и переменную y, пробегающую множество Y \;, указанную функцию можно задать аналитически, как: y=f(x) \;.

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: y = x^2 \;, где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение y = x^2 \; не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, её задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ[править | править вики-текст]

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \; — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (\vec e_z, \vec e_1, \vec e_2, \ldots , \vec e_n \;). Каждой точке функции сопоставим вектор: z \vec e_z + x_1 \vec e_1 + x_2 \vec e_2 + \ldots + x_n \vec e_n \;. Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения[править | править вики-текст]

Сужение и продолжение функции[править | править вики-текст]

Пусть дано отображение f\colon X\to Y и M\subset X.

Отображение g\colon M\to Y, которое принимает на M те же значения, что и функция f, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции f на множество M.

Сужение функции f на множество M обозначается как f\big|_M.

Если функция g\colon M\to Y такова, что она является сужением для некоторой функции f\colon X\to Y, то функция f, в свою очередь, называется продолжением функции g на множество X.

Образ и прообраз (при отображении)[править | править вики-текст]

Элемент y=f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x (при отображении f).

Если взять целое подмножество A области определения функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества A, а именно подмножество области значений (функции f) вида

f(A):=\{f(x)\colon x\in A\},

которое, называется образом множества A (при отображении f). Это множество иногда обозначается как f[A] или A^f.

Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции f), чьи образы попадают в множество B, а именно — множество вида

f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\},

которое называется (полным) прообразом множества B (при отображении f).

В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента, скажем, B=\{y\}, множество f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\} имеет более простое обозначение f^{-1}(y).

Тождественное отображение[править | править вики-текст]

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование f\colon X\to X, которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что тоже самое,

f(x)=x для каждого x\in X,

называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: id_X или, проще, id (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — 1_X. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве X. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений[править | править вики-текст]

Пусть f\colon X\to Y и g\colon Y\to Z — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого x\in X однозначно определяется элемент y\in Y такой, что y=f(x), но для этого самого y однозначно определяется элемент z\in Z такой, что z=g(y). То есть, для всякого x\in X однозначно определяется элемент z\in Z такой, что z=g(f(x)). Другими словами, определено отображение h такое, что

h(x)=g(f(x)) для всякого x\in X.

Это отображение называется композицией отображений f и g и обозначается

  • либо f\cdot g или f\cdot g,
  • либо g\circ f (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Обратное отображение[править | править вики-текст]

Если отображение f\colon X\to Y является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение f^{-1}\colon Y\to X, у которого

  • область определения (множество Y) совпадает с областью значений отображения f ;
  • область значений (множество X) совпадает с областью определения отображения f;
  • x=f^{-1}(y) тогда и только тогда, когда y=f(x).

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению f.

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: f^{-1}\circ f=id_X и f\circ f^{-1}=id_Y.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть задана функция f\colon X\to Y, где X и Y — данные множества, причём X=dom f. Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.

Образ и прообраз при отображении[править | править вики-текст]

Взятие образа[править | править вики-текст]

Положим, A и B — подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора f) обладает следующими свойствами:

  • f(\varnothing)=\varnothing;
  • A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing;
  • A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B).

Далее

  • образ объединения равен объединению образов: f(A\cup B)=f(A)\cup f(B);
  • образ пересечения является подмножеством пересечения образов f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B).

Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

Взятие прообраза[править | править вики-текст]

Положим, A и B — подмножества множества Y.

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B);
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).

Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).

Поведение функций[править | править вики-текст]

Сюръективность[править | править вики-текст]

Функция f называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f[X]=Y.

Такое отображение называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

Инъективность[править | править вики-текст]

Функция f называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y. Более формально, функция f инъективна, если для любых двух элементов x_1, x_2\in X таких, что f(x_1)=f(x_2), непременно выполняется x_1=x_2.

Другими словами, сюръекция — это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция — это когда «разные — в разные». То есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов X отображались в один и тот же элемент Y. А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент Y не имел прообраза.

Биективность[править | править вики-текст]

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f\colon M \subset \R \to \R. Тогда

  • функция f называется возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);
  • функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);
  • функция f называется убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);
  • функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Периодичность[править | править вики-текст]

Функция f\colon M \to N называется периодической с пери́одом T \not= 0 , если справедливо

f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M.

Если это равенство не выполнено ни для какого T \in M,\, T \not=0 , то функция f называется апериоди́ческой.

Чётность[править | править вики-текст]

  • Функция f\colon X \to \mathbb{R} называется нечётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.

Экстремумы функции[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f\colon M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x_0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Примеры[править | править вики-текст]

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области — это:

  • абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  • множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах структур, заданных на множествах. Например, свойство непрерывности требует задания топологической структуры.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Частично определённые функции[править | править вики-текст]

Частично определённая функция f из множества  X в множество Y есть функция f\colon X'\to Y с областью определения X'\subset X.

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например возможна запись f\colon \R\to\R, где f(x)=1/x в этом случае \mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}.

Многозначные функции[править | править вики-текст]

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про т. н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть f\colon X\to \mathbb{B}, где \mathbb{B} — семейство подмножеств множества Y. Тогда f(x) будет множеством для всякого x\in X.

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[5].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 31. — 544 с.
  2. Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  3. 1 2 Иногда функция определяется без этого условия. Например говорят, что f(x)=1/x есть функция из \R\to\R хотя значение f(x) не определено при x=0
  4. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  5. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература[править | править вики-текст]

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
  • В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.

Ссылки[править | править вики-текст]