Характеристика кольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть R — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число n, что для каждого элемента r \in R выполняется равенство

n\cdot r = \underbrace{r+\cdots+r}_n = 0,

то наименьшее из таких чисел n называется характеристикой кольца R и обозначается символом \mathop{\mathrm{char}} R. При этом кольцо R называется кольцом положительной характеристики \mathop{\mathrm{char}} R.

Если же таких чисел n не существует, то полагают \mathop{\mathrm{char}} R = 0 и называют R кольцом характеристики нуль.

В случае, если кольцо R содержит единицу, определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число n, такое что n\cdot 1=0, если же такого n не существует, то характеристика равна нулю.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Тривиальное кольцо с единственным элементом 0=1 — единственное кольцо с характеристикой 1.
  • Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля K есть либо 0, либо простое число p. В первом случае поле K содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел \mathbb{Q}, во втором случае поле K содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов \mathbb{F}_p. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K).
  • Характеристика любого поля — простое число или нуль. Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в \mathbb{F}_p и алгебраическое замыкание поля \mathbb{F}_p.
  • Если R — коммутативное кольцо простой характеристики p, то (a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n} для всех a, b \in R, n \in \mathbb{N}. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература[править | править вики-текст]

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.