Характеристическая подгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической. Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.
  • Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными: саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривильных характеристических подгрупп называется элементарной.

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • Всякая характеристическая подгруппа является нормальной (так как сопряжение является автоморфизмом), обратное, вообще говоря, неверно. Если группа автоморфизмов группы \operatorname{Aut}G ~ совпадает с группой внутренних автоморфизмов \operatorname{Int}G, ~ то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
  • Свойство «быть характеристической подгруппой» транзитивно, то есть если A характеристична (вполне характеристична) в B, а B характеристична (вполне характеристична) в C, то A характеристична (вполне характеристична) в C.
  • Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
  • Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.

Литература[править | править исходный текст]