Характеристическая подгруппа

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения

• Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической. Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.

• Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными: саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривильных характеристических подгрупп называется элементарной.

Примеры

• Центр группы
• Коммутант группы

Свойства

1. Всякая характеристическая подгруппа является нормальной, обратное неверно. Если группа автоморфизмов группы $\operatorname{Aut}G ~$ совпадает с группой внутренних автоморфизмов $\operatorname{Int}G ~$, то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
2. Свойство "быть характеристической подгруппой" транзитивно, т.е. если A характеристична (вполне характеристична) в B, а B характеристична (вполне характеристична) в C, то A характеристична (вполне характеристична) в C.
3. Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
4. Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.

Литература

• Курош Теория групп