Характеристическая функция случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, С.Р. Рао, Б. Рамачандран.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть есть случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx),

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина X принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве \mathcal{H}, то её характеристическая функция имеет вид:

\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H},

где \langle \cdot, \cdot \rangle обозначает скалярное произведение в \mathcal{H}.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины[править | править исходный текст]

Если случайная величина X дискретна, то есть \mathbb{P}(X = x_k) = p_k,\; k=1,2,\ldots, то

\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itx_k}\, p_k.

Пример. Пусть X имеет распределение Бернулли. Тогда

\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q.

Если случайная величина X абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность f_X(x), то

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx.

Пример. Пусть X \sim U[0,1] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}.

Свойства характеристических функций[править | править исходный текст]

  • Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и \phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t. Тогда \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  • Характеристическая функция всегда ограничена:
|\phi_X(t)| \leq 1,\ \forall t \in \mathbb{R}.
  • Характеристическая функция в нуле равна единице:
\phi_X(0) \ = 1.
  • Характеристическая функция всегда непрерывна: \phi_X \in C(\mathbb{R}).
  • Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть X_1,\ldots, X_n суть независимые случайные величины. Обозначим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда
\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t).
  • Для всех вещественных t верно равенство \phi_X(-t) = \overline \phi_X(t), где \overline \phi_X(t) означает комплексно сопряжённую с \phi_X(t) функцию[1].
  • Теорема обращения (Леви). Пусть F - функция распределения, а \phi - её характеристическая функция. Если a и b - точки непрерывности F, то
F(b) - F(a) = \frac{1} {2\pi} \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb}} {it}\, \phi(t)\, dt.

Вычисление моментов[править | править исходный текст]

Если случайная величина X имеет начальный n-ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную nпроизводную, то есть \phi_X \in C^n(\mathbb{R}), и более того:

i^n \left.\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}.

Обратное преобразование Фурье[править | править исходный текст]

Пусть дана случайная величина X, чья характеристическая функция равна \phi_X(t) \ . Тогда

  • если X дискретна и принимает целые значения, то
\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z};
  • если X абсолютно непрерывна, и f_X(x) — её плотность, то
f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975

Литература[править | править исходный текст]

  • Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.