Характеристический многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Характеристический многочлен — это многочлен, определяющий собственные значения матрицы.

Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты $x_n=a_1x_{n-1}+\cdots+a_kx_{n-k}$ — это многочлен $x^n-a_1x^{n-1}-\cdots-a_k$ .

[править] Определение

Для данной матрицы $A$ , $χ(λ) = det(A - λ E)$ является многочленом от $λ$ , который называется характеристическим многочленом матрицы A.

[править] Связанные определения

Матрицу вида $A - λ E$ называют характеристической матрицей матрицы А, где Е — единичная матрица.
Уравнение $χ(λ) = 0$ называют характеристическим уравнением матрицы A.

[править] Свойства

Для матрицы $n\times n$ , характеристический многочлен имеет степень $n$ .
Корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
(Теорема Гамильтона — Кэли): если $χ(λ)$ — характеристический многочлен матрицы $A$ , то $χ(A) = 0$ .

Характеристический многочлен линейной рекурренты $x_n=a_1x_{n-1}+\cdots+a_kx_{n-k}$ — это многочлен $x^n-a_1x^{n-1}-\cdots-a_k$ .

Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: $\chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}$ .

Если A и B — две $n\times n$ -матрицы, то $\chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}$ .

В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и |AB|=|BA|.

В более общем виде, если A — $m\times n$ -матрица, а B — $n\times m$ -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то