Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета – теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Рассмотрим D=Z[i] – кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида

$\alpha = a + b\,i$,

({{{2}}})

где a и b – целые числа.

Пусть $\pi$ - простое в кольце D с нормой $N\pi$. Определим характер биквадратичного вычета следующим образом:

• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=\alpha^{(N\pi-1)/4}\mod\pi$ иначе.

Заметим, что при $\pi$, не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$.

Биквадратичный закон взаимности

Назовём $\alpha$, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала $((1+i)^3)$. При этом неединица $\alpha=a+b\,i$ примарна тогда и только тогда, когда $a\equiv1\pmod{4}$, $b\equiv0\pmod{4}$ или $a\equiv3\pmod{4}$, $b\equiv2\pmod{4}$.

Пусть $\pi$ и $\theta$ - взаимно простые примарные элементы в D, тогда

$\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_4 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_4(-1)^{\frac{N\pi-1}{4}\frac{N\theta-1}{4}}$

({{{2}}})

Другие свойства характера биквадратичного вычета

• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^4\equiv\alpha\mod{\pi}$ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ - биквадратичный вычет
• Мультипликативность: $\left(\frac{\alpha\beta}{\pi}\right)_4=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4\cdot \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_4$
• Периодичность: если $\alpha\equiv\beta\mod{\pi}$, то $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4= \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_4$
• Если $\pi=a+bi$ - простое примарное, то $\left(\frac{-1}{\pi}\right)_4 = (-1)^{\frac{a-1}{2}}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4