Характер биквадратичного вычета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характер биквадратичного вычетатеоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим D=Z[i]кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида \alpha = a + b\,i, где a и bцелые числа.

Пусть \pi - простое в кольце D, с нормой N\pi. Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=0, если \alpha делится на \pi.
  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=1, если \alpha не делится на \pi и N\pi = 2.
  • Во всех остальных случаях \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4 - одно из значений \{1,\ -1,\ i,\  -i\}, лежащее в классе вычетов \alpha^{(N\pi-1)/4}\mod\pi (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности[править | править вики-текст]

Назовём \alpha, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала ((1+i)^3). При этом неединица \alpha=a+b\,i примарна тогда и только тогда, когда a\equiv1\pmod{4}, b\equiv0\pmod{4} или a\equiv3\pmod{4}, b\equiv2\pmod{4}.

Пусть \pi и \theta - взаимно простые примарные элементы в D, тогда

 \left(\frac{\pi}{\theta}\right)_4 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_4(-1)^{\frac{N\pi-1}{4}\frac{N\theta-1}{4}}

({{{2}}})

Другие свойства характера биквадратичного вычета[править | править вики-текст]

  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4=1 тогда и только тогда, когда сравнение x^4\equiv\alpha\mod{\pi} разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда \alpha - биквадратичный вычет
  • Мультипликативность: \left(\frac{\alpha\beta}{\pi}\right)_4=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4\cdot \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_4
  • Периодичность: если \alpha\equiv\beta\mod{\pi}, то \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4= \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_4
  • Если \pi=a+bi - простое примарное, то  \left(\frac{-1}{\pi}\right)_4 = (-1)^{\frac{a-1}{2}}

Список литературы[править | править вики-текст]

  • Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.