Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$ -

({{{2}}})

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида

$\alpha = a + b\,\omega$,

({{{2}}})

где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D с нормой $N\pi$. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=\alpha^{(N\pi-1)/3}\mod\pi$ иначе.

Заметим, что при $\pi$, не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\ \omega,\ \omega^2\}$.

Кубический закон взаимности

Назовём $\pi$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть $\pi$ и $\theta$ — примарные, тогда

$\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3$

({{{2}}})

Другие свойства характера кубического вычета

• $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^3\equiv\alpha\mod{\pi}$ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ — кубический вычет
• Мультипликативность: $\left(\frac{\alpha\beta}{\pi}\right)_3=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\cdot \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3$
• Периодичность: если $\alpha\equiv\beta\mod{\pi}$, то $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3= \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3$
• Если $\pi=-1+3(m+n\omega)$ — примарное, то

• $\left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}$
• $\left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4