Характер кубического вычета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3} -

({{{2}}})

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

\alpha = a + b\,\omega,

({{{2}}})

где a и b — целые числа.

Пусть \pi — простое в кольце D с нормой N\pi. Определим характер кубического вычета следующим образом:

  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=0, если \alpha делится на \pi.
  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=\alpha^{(N\pi-1)/3}\mod\pi иначе.

Заметим, что при \pi, не делящем \alpha , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: \{1,\ \omega,\ \omega^2\}.

Кубический закон взаимности[править | править вики-текст]

Назовём \pi примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть \pi и \theta — примарные, тогда

 \left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3

({{{2}}})

Другие свойства характера кубического вычета[править | править вики-текст]

  • \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=1 тогда и только тогда, когда сравнение x^3\equiv\alpha\mod{\pi} разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда \alpha — кубический вычет
  • Мультипликативность: \left(\frac{\alpha\beta}{\pi}\right)_3=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\cdot \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3
  • Периодичность: если \alpha\equiv\beta\mod{\pi}, то \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3= \left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3
  • Если \pi=-1+3(m+n\omega) — примарное, то
  •  \left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}
  •  \left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}

Список литературы[править | править вики-текст]

  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
  • Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.