Характер (теория групп)

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $G$ — группа, то характер — это гомоморфизм в мультипликативную группу поля (обычно поле комплексных чисел).

Связанные определения

Если $f$ — конечномерное представление группы $G$, то характер этого представления — это функция из $G$ во множество комплексных чисел, заданное следом $f$. Вообще, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы. Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Свойства

Если $A$ — абелева группа, то множество $\mathrm{Ch}(A)$ морфизмов образует группу с операцией

$\chi_a\chi_b=\chi_{ab}.$

Эту группу называют группой характеров. Иногда рассматриваются только единичные характеры (гомоморфизмы в $U(1)$, то есть образ которых лежит на единичной окружности), все прочие называются в таком случае квазихарактерами. Характер Дирихле можно считать особым случаем такого определения.

Вариации и обобщения

Если $A$ — коммутативная алгебра на поле комплексных чисел, характер $A$ — это алгебраический гомоморфизм с этим полем. Если при этом $A$ — звёздная алгебра, то характер является звёздным гомоморфизмом с комплексными числами.

См. также

• Двойственность Понтрягина

Литература

• Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978
• Наймарк М. А., Теория представления групп, М., 1978